Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57575 / 84521
↖ ↑ ↗
← S 46.151297°
W 21.865540°		 ← 211.59 m → S 46.151297°
W 21.862793°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
S 46.153200°
W 21.865540°		 ← 211.58 m →
44 767 m²		 S 46.153200°
W 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439266204833984 y=0.644847869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439266204833984 × 217)
    floor (0.439266204833984 × 131072)
    floor (57575.5)     		tx = 57575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644847869873047 × 217)
    floor (0.644847869873047 × 131072)
    floor (84521.5)     		ty = 84521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57575 / 84521 ti = "17/57575/84521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57575/84521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57575 ÷ 217
    57575 ÷ 131072     		x = 0.439262390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84521 ÷ 217
    84521 ÷ 131072     		y = 0.644844055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439262390136719 × 2 - 1) × π
    -0.121475219726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38162566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644844055175781 × 2 - 1) × π
    -0.289688110351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.910082039286766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38162566} λ = -0.38162566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910082039286766))-π/2
    2×atan(0.402491202587937)-π/2
    2×0.382652118986083-π/2
    0.765304237972167-1.57079632675     		φ = -0.80549209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38162566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.865540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80549209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.151297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57575 KachelY 84521 -0.38162566 -0.80549209 -21.865540 -46.151297
    Oben rechts KachelX + 1 57576 KachelY 84521 -0.38157772 -0.80549209 -21.862793 -46.151297
    Unten links KachelX 57575 KachelY + 1 84522 -0.38162566 -0.80552530 -21.865540 -46.153200
    Unten rechts KachelX + 1 57576 KachelY + 1 84522 -0.38157772 -0.80552530 -21.862793 -46.153200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80549209--0.80552530) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dl = 211.580910000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80549209--0.80552530) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dr = 211.580910000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38162566--0.38157772) × cos(-0.80549209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692756437565716 × 6371000     		do = 211.585647583134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38162566--0.38157772) × cos(-0.80552530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692732487073905 × 6371000     		du = 211.578332486449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80549209)-sin(-0.80552530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692756437565716-0.692732487073905)×R²
    abs(-0.38157772--0.38162566)×2.39504918105871e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39504918105871e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39504918105871e-05×40589641000000     		ar = 44766.7099952376m²