Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57574 / 8294
↖ ↑ ↗
← N 79.065562°
E136.263428°		 ← 115.87 m → N 79.065562°
E136.268921°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
N 79.064520°
E136.263428°		 ← 115.88 m →
13 429 m²		 N 79.064520°
E136.268921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878517150878906 y=0.126564025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878517150878906 × 216)
    floor (0.878517150878906 × 65536)
    floor (57574.5)     		tx = 57574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126564025878906 × 216)
    floor (0.126564025878906 × 65536)
    floor (8294.5)     		ty = 8294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57574 / 8294 ti = "16/57574/8294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57574/8294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57574 ÷ 216
    57574 ÷ 65536     		x = 0.878509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8294 ÷ 216
    8294 ÷ 65536     		y = 0.126556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.878509521484375 × 2 - 1) × π
    0.75701904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.37824546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126556396484375 × 2 - 1) × π
    0.74688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34641536260251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37824546} λ = 2.37824546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34641536260251))-π/2
    2×atan(10.4480500467549)-π/2
    2×1.47537535373335-π/2
    2.95075070746671-1.57079632675     		φ = 1.37995438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37824546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.263428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37995438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.065562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57574 KachelY 8294 2.37824546 1.37995438 136.263428 79.065562
    Oben rechts KachelX + 1 57575 KachelY 8294 2.37834134 1.37995438 136.268921 79.065562
    Unten links KachelX 57574 KachelY + 1 8295 2.37824546 1.37993619 136.263428 79.064520
    Unten rechts KachelX + 1 57575 KachelY + 1 8295 2.37834134 1.37993619 136.268921 79.064520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37995438-1.37993619) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37995438-1.37993619) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37824546-2.37834134) × cos(1.37995438) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189685623258536 × 6371000     		do = 115.869743702123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37824546-2.37834134) × cos(1.37993619) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189703482985483 × 6371000     		du = 115.880653342761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37995438)-sin(1.37993619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189685623258536-0.189703482985483)×R²
    abs(2.37834134-2.37824546)×1.78597269474834e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.78597269474834e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.78597269474834e-05×40589641000000     		ar = 13428.6017855235m²