Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57574 / 44182
↖ ↑ ↗
← N 50.474987°
W 21.868286°		 ← 194.34 m → N 50.474987°
W 21.865540°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
N 50.473239°
W 21.868286°		 ← 194.34 m →
37 776 m²		 N 50.473239°
W 21.865540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439258575439453 y=0.337085723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439258575439453 × 217)
    floor (0.439258575439453 × 131072)
    floor (57574.5)     		tx = 57574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337085723876953 × 217)
    floor (0.337085723876953 × 131072)
    floor (44182.5)     		ty = 44182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57574 / 44182 ti = "17/57574/44182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57574/44182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57574 ÷ 217
    57574 ÷ 131072     		x = 0.439254760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44182 ÷ 217
    44182 ÷ 131072     		y = 0.337081909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439254760742188 × 2 - 1) × π
    -0.121490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38167359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337081909179688 × 2 - 1) × π
    0.325836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02364455448668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38167359} λ = -0.38167359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02364455448668))-π/2
    2×atan(2.78332026364349)-π/2
    2×1.22587551915272-π/2
    2.45175103830545-1.57079632675     		φ = 0.88095471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38167359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.868286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88095471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.474987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57574 KachelY 44182 -0.38167359 0.88095471 -21.868286 50.474987
    Oben rechts KachelX + 1 57575 KachelY 44182 -0.38162566 0.88095471 -21.865540 50.474987
    Unten links KachelX 57574 KachelY + 1 44183 -0.38167359 0.88092420 -21.868286 50.473239
    Unten rechts KachelX + 1 57575 KachelY + 1 44183 -0.38162566 0.88092420 -21.865540 50.473239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88095471-0.88092420) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88095471-0.88092420) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38167359--0.38162566) × cos(0.88095471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636415021822856 × 6371000     		do = 194.336982986441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38167359--0.38162566) × cos(0.88092420) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636438555318189 × 6371000     		du = 194.344169222348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88095471)-sin(0.88092420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636415021822856-0.636438555318189)×R²
    abs(-0.38162566--0.38167359)×2.35334953326838e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35334953326838e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35334953326838e-05×40589641000000     		ar = 37775.7676571193m²