Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57573 / 81061
↖ ↑ ↗
← S 39.174788°
W 21.871033°		 ← 236.77 m → S 39.174788°
W 21.868286°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
S 39.176917°
W 21.871033°		 ← 236.77 m →
56 054 m²		 S 39.176917°
W 21.868286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439250946044922 y=0.618450164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439250946044922 × 217)
    floor (0.439250946044922 × 131072)
    floor (57573.5)     		tx = 57573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618450164794922 × 217)
    floor (0.618450164794922 × 131072)
    floor (81061.5)     		ty = 81061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57573 / 81061 ti = "17/57573/81061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57573/81061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57573 ÷ 217
    57573 ÷ 131072     		x = 0.439247131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81061 ÷ 217
    81061 ÷ 131072     		y = 0.618446350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439247131347656 × 2 - 1) × π
    -0.121505737304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38172153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618446350097656 × 2 - 1) × π
    -0.236892700195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.744220366601372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38172153} λ = -0.38172153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744220366601372))-π/2
    2×atan(0.475104562971578)-π/2
    2×0.443533646962662-π/2
    0.887067293925323-1.57079632675     		φ = -0.68372903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38172153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.871033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68372903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.174788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57573 KachelY 81061 -0.38172153 -0.68372903 -21.871033 -39.174788
    Oben rechts KachelX + 1 57574 KachelY 81061 -0.38167359 -0.68372903 -21.868286 -39.174788
    Unten links KachelX 57573 KachelY + 1 81062 -0.38172153 -0.68376619 -21.871033 -39.176917
    Unten rechts KachelX + 1 57574 KachelY + 1 81062 -0.38167359 -0.68376619 -21.868286 -39.176917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68372903--0.68376619) × R
    3.71600000000916e-05 × 6371000     		dl = 236.746360000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68372903--0.68376619) × R
    3.71600000000916e-05 × 6371000     		dr = 236.746360000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38172153--0.38167359) × cos(-0.68372903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77522252980837 × 6371000     		do = 236.772914831238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38172153--0.38167359) × cos(-0.68376619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775199055738235 × 6371000     		du = 236.765745245996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68372903)-sin(-0.68376619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77522252980837-0.775199055738235)×R²
    abs(-0.38167359--0.38172153)×2.34740701356984e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34740701356984e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34740701356984e-05×40589641000000     		ar = 56054.2770528532m²