Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57571 / 84708
↖ ↑ ↗
← S 46.505955°
W 21.876526°		 ← 210.22 m → S 46.505955°
W 21.873779°		 →
↑
210.18 m
↓
↑
210.18 m
↓
S 46.507845°
W 21.876526°		 ← 210.21 m →
44 183 m²		 S 46.507845°
W 21.873779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439235687255859 y=0.646274566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439235687255859 × 217)
    floor (0.439235687255859 × 131072)
    floor (57571.5)     		tx = 57571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646274566650391 × 217)
    floor (0.646274566650391 × 131072)
    floor (84708.5)     		ty = 84708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57571 / 84708 ti = "17/57571/84708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57571/84708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57571 ÷ 217
    57571 ÷ 131072     		x = 0.439231872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84708 ÷ 217
    84708 ÷ 131072     		y = 0.646270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439231872558594 × 2 - 1) × π
    -0.121536254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38181741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.29254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.919046239515717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38181741} λ = -0.38181741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919046239515717))-π/2
    2×atan(0.398899314114003)-π/2
    2×0.379557149978075-π/2
    0.75911429995615-1.57079632675     		φ = -0.81168203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38181741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.876526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81168203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.505955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57571 KachelY 84708 -0.38181741 -0.81168203 -21.876526 -46.505955
    Oben rechts KachelX + 1 57572 KachelY 84708 -0.38176947 -0.81168203 -21.873779 -46.505955
    Unten links KachelX 57571 KachelY + 1 84709 -0.38181741 -0.81171502 -21.876526 -46.507845
    Unten rechts KachelX + 1 57572 KachelY + 1 84709 -0.38176947 -0.81171502 -21.873779 -46.507845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81168203--0.81171502) × R
    3.29899999998995e-05 × 6371000     		dl = 210.17928999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81168203--0.81171502) × R
    3.29899999998995e-05 × 6371000     		dr = 210.17928999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38181741--0.38176947) × cos(-0.81168203) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.688279185397458 × 6371000     		do = 210.218179526721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38181741--0.38176947) × cos(-0.81171502) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.688255252562473 × 6371000     		du = 210.210869822886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81168203)-sin(-0.81171502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688279185397458-0.688255252562473)×R²
    abs(-0.38176947--0.38181741)×2.39328349849188e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39328349849188e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39328349849188e-05×40589641000000     		ar = 44182.7395476122m²