Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57571 / 84685
↖ ↑ ↗
← S 46.462457°
W 21.876526°		 ← 210.39 m → S 46.462457°
W 21.873779°		 →
↑
210.37 m
↓
↑
210.37 m
↓
S 46.464349°
W 21.876526°		 ← 210.38 m →
44 258 m²		 S 46.464349°
W 21.873779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439235687255859 y=0.646099090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439235687255859 × 217)
    floor (0.439235687255859 × 131072)
    floor (57571.5)     		tx = 57571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646099090576172 × 217)
    floor (0.646099090576172 × 131072)
    floor (84685.5)     		ty = 84685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57571 / 84685 ti = "17/57571/84685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57571/84685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57571 ÷ 217
    57571 ÷ 131072     		x = 0.439231872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84685 ÷ 217
    84685 ÷ 131072     		y = 0.646095275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439231872558594 × 2 - 1) × π
    -0.121536254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38181741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646095275878906 × 2 - 1) × π
    -0.292190551757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.917943690824455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38181741} λ = -0.38181741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917943690824455))-π/2
    2×atan(0.399339362573574)-π/2
    2×0.379936732382693-π/2
    0.759873464765385-1.57079632675     		φ = -0.81092286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38181741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.876526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81092286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.462457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57571 KachelY 84685 -0.38181741 -0.81092286 -21.876526 -46.462457
    Oben rechts KachelX + 1 57572 KachelY 84685 -0.38176947 -0.81092286 -21.873779 -46.462457
    Unten links KachelX 57571 KachelY + 1 84686 -0.38181741 -0.81095588 -21.876526 -46.464349
    Unten rechts KachelX + 1 57572 KachelY + 1 84686 -0.38176947 -0.81095588 -21.873779 -46.464349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81092286--0.81095588) × R
    3.30199999999392e-05 × 6371000     		dl = 210.370419999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81092286--0.81095588) × R
    3.30199999999392e-05 × 6371000     		dr = 210.370419999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38181741--0.38176947) × cos(-0.81092286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.688829723772142 × 6371000     		do = 210.386328117208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38181741--0.38176947) × cos(-0.81095588) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68880578643334 × 6371000     		du = 210.37901703779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81092286)-sin(-0.81095588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688829723772142-0.68880578643334)×R²
    abs(-0.38176947--0.38181741)×2.39373388021269e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39373388021269e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39373388021269e-05×40589641000000     		ar = 44258.2911949421m²