Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57571 / 8295
↖ ↑ ↗
← N 79.064520°
E136.246948°		 ← 115.88 m → N 79.064520°
E136.252442°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
N 79.063478°
E136.246948°		 ← 115.89 m →
13 422 m²		 N 79.063478°
E136.252442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878471374511719 y=0.126579284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878471374511719 × 216)
    floor (0.878471374511719 × 65536)
    floor (57571.5)     		tx = 57571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126579284667969 × 216)
    floor (0.126579284667969 × 65536)
    floor (8295.5)     		ty = 8295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57571 / 8295 ti = "16/57571/8295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57571/8295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57571 ÷ 216
    57571 ÷ 65536     		x = 0.878463745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8295 ÷ 216
    8295 ÷ 65536     		y = 0.126571655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.878463745117188 × 2 - 1) × π
    0.756927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.37795784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126571655273438 × 2 - 1) × π
    0.746856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34631948880327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37795784} λ = 2.37795784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34631948880327))-π/2
    2×atan(10.4470484005188)-π/2
    2×1.47536626036472-π/2
    2.95073252072944-1.57079632675     		φ = 1.37993619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37795784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.246948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37993619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.064520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57571 KachelY 8295 2.37795784 1.37993619 136.246948 79.064520
    Oben rechts KachelX + 1 57572 KachelY 8295 2.37805372 1.37993619 136.252442 79.064520
    Unten links KachelX 57571 KachelY + 1 8296 2.37795784 1.37991801 136.246948 79.063478
    Unten rechts KachelX + 1 57572 KachelY + 1 8296 2.37805372 1.37991801 136.252442 79.063478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37993619-1.37991801) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dl = 115.824780000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37993619-1.37991801) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dr = 115.824780000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37795784-2.37805372) × cos(1.37993619) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189703482985483 × 6371000     		do = 115.880653342761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37795784-2.37805372) × cos(1.37991801) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189721332831283 × 6371000     		du = 115.891556947486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37993619)-sin(1.37991801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189703482985483-0.189721332831283)×R²
    abs(2.37805372-2.37795784)×1.7849845799417e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.7849845799417e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.7849845799417e-05×40589641000000     		ar = 13422.4826339496m²