Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5757 / 9861
↖ ↑ ↗
← S 34.397845°
W 53.503418°		 ← 2 015.98 m → S 34.397845°
W 53.481445°		 →
↑
2 015.78 m
↓
↑
2 015.78 m
↓
S 34.415973°
W 53.503418°		 ← 2 015.54 m →
4 063 344 m²		 S 34.415973°
W 53.481445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351409912109375 y=0.601898193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351409912109375 × 214)
    floor (0.351409912109375 × 16384)
    floor (5757.5)     		tx = 5757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601898193359375 × 214)
    floor (0.601898193359375 × 16384)
    floor (9861.5)     		ty = 9861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5757 / 9861 ti = "14/5757/9861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5757/9861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5757 ÷ 214
    5757 ÷ 16384     		x = 0.35137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9861 ÷ 214
    9861 ÷ 16384     		y = 0.60186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2972412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.93381080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60186767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.64005348372699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93381080} λ = -0.93381080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64005348372699))-π/2
    2×atan(0.527264223233146)-π/2
    2×0.485220338451974-π/2
    0.970440676903949-1.57079632675     		φ = -0.60035565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93381080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.503418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60035565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.397845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5757 KachelY 9861 -0.93381080 -0.60035565 -53.503418 -34.397845
    Oben rechts KachelX + 1 5758 KachelY 9861 -0.93342731 -0.60035565 -53.481445 -34.397845
    Unten links KachelX 5757 KachelY + 1 9862 -0.93381080 -0.60067205 -53.503418 -34.415973
    Unten rechts KachelX + 1 5758 KachelY + 1 9862 -0.93342731 -0.60067205 -53.481445 -34.415973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60035565--0.60067205) × R
    0.000316399999999994 × 6371000     		dl = 2015.78439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60035565--0.60067205) × R
    0.000316399999999994 × 6371000     		dr = 2015.78439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93381080--0.93342731) × cos(-0.60035565) × R
    0.000383490000000042 × 0.825134747621168 × 6371000     		do = 2015.98141913118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93381080--0.93342731) × cos(-0.60067205) × R
    0.000383490000000042 × 0.824955960582093 × 6371000     		du = 2015.54460399305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60035565)-sin(-0.60067205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825134747621168-0.824955960582093)×R²
    abs(-0.93342731--0.93381080)×0.000178787039075146×R²
    0.000383490000000042×0.000178787039075146×6371000²
    0.000383490000000042×0.000178787039075146×40589641000000     		ar = 4063343.66670243m²