Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57568 / 84515
↖ ↑ ↗
← S 46.139880°
W 21.884766°		 ← 211.63 m → S 46.139880°
W 21.882019°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
S 46.141783°
W 21.884766°		 ← 211.62 m →
44 776 m²		 S 46.141783°
W 21.882019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439212799072266 y=0.644802093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439212799072266 × 217)
    floor (0.439212799072266 × 131072)
    floor (57568.5)     		tx = 57568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644802093505859 × 217)
    floor (0.644802093505859 × 131072)
    floor (84515.5)     		ty = 84515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57568 / 84515 ti = "17/57568/84515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57568/84515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57568 ÷ 217
    57568 ÷ 131072     		x = 0.439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84515 ÷ 217
    84515 ÷ 131072     		y = 0.644798278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.12158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38196122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644798278808594 × 2 - 1) × π
    -0.289596557617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.909794417889046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38196122} λ = -0.38196122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909794417889046))-π/2
    2×atan(0.402606984320049)-π/2
    2×0.382751755106096-π/2
    0.765503510212192-1.57079632675     		φ = -0.80529282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38196122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.884766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80529282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.139880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57568 KachelY 84515 -0.38196122 -0.80529282 -21.884766 -46.139880
    Oben rechts KachelX + 1 57569 KachelY 84515 -0.38191328 -0.80529282 -21.882019 -46.139880
    Unten links KachelX 57568 KachelY + 1 84516 -0.38196122 -0.80532603 -21.884766 -46.141783
    Unten rechts KachelX + 1 57569 KachelY + 1 84516 -0.38191328 -0.80532603 -21.882019 -46.141783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80529282--0.80532603) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dl = 211.580910000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80529282--0.80532603) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dr = 211.580910000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38196122--0.38191328) × cos(-0.80529282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692900131681068 × 6371000     		do = 211.629535464649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38196122--0.38191328) × cos(-0.80532603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692876185774147 × 6371000     		du = 211.622221768308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80529282)-sin(-0.80532603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692900131681068-0.692876185774147)×R²
    abs(-0.38191328--0.38196122)×2.39459069207859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39459069207859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39459069207859e-05×40589641000000     		ar = 44775.9959814396m²