Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57567 / 84513
↖ ↑ ↗
← S 46.136073°
W 21.887512°		 ← 211.60 m → S 46.136073°
W 21.884766°		 →
↑
211.64 m
↓
↑
211.64 m
↓
S 46.137976°
W 21.887512°		 ← 211.59 m →
44 783 m²		 S 46.137976°
W 21.884766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439205169677734 y=0.644786834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439205169677734 × 217)
    floor (0.439205169677734 × 131072)
    floor (57567.5)     		tx = 57567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644786834716797 × 217)
    floor (0.644786834716797 × 131072)
    floor (84513.5)     		ty = 84513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57567 / 84513 ti = "17/57567/84513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57567/84513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57567 ÷ 217
    57567 ÷ 131072     		x = 0.439201354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84513 ÷ 217
    84513 ÷ 131072     		y = 0.644783020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439201354980469 × 2 - 1) × π
    -0.121597290039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38200915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644783020019531 × 2 - 1) × π
    -0.289566040039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.909698544089806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38200915} λ = -0.38200915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909698544089806))-π/2
    2×atan(0.402645585631634)-π/2
    2×0.382784971738339-π/2
    0.765569943476678-1.57079632675     		φ = -0.80522638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38200915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.887512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80522638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.136073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57567 KachelY 84513 -0.38200915 -0.80522638 -21.887512 -46.136073
    Oben rechts KachelX + 1 57568 KachelY 84513 -0.38196122 -0.80522638 -21.884766 -46.136073
    Unten links KachelX 57567 KachelY + 1 84514 -0.38200915 -0.80525960 -21.887512 -46.137976
    Unten rechts KachelX + 1 57568 KachelY + 1 84514 -0.38196122 -0.80525960 -21.884766 -46.137976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80522638--0.80525960) × R
    3.3219999999945e-05 × 6371000     		dl = 211.644619999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80522638--0.80525960) × R
    3.3219999999945e-05 × 6371000     		dr = 211.644619999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38200915--0.38196122) × cos(-0.80522638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.692948035622027 × 6371000     		do = 211.600018842184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38200915--0.38196122) × cos(-0.80525960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.692924084033892 × 6371000     		du = 211.592704936609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80522638)-sin(-0.80525960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692948035622027-0.692924084033892)×R²
    abs(-0.38196122--0.38200915)×2.39515881347296e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39515881347296e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39515881347296e-05×40589641000000     		ar = 44783.2316096692m²