Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57566 / 87500
↖ ↑ ↗
← S 51.529252°
W 21.890259°		 ← 190.01 m → S 51.529252°
W 21.887512°		 →
↑
189.98 m
↓
↑
189.98 m
↓
S 51.530960°
W 21.890259°		 ← 190 m →
36 098 m²		 S 51.530960°
W 21.887512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439197540283203 y=0.667575836181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439197540283203 × 217)
    floor (0.439197540283203 × 131072)
    floor (57566.5)     		tx = 57566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667575836181641 × 217)
    floor (0.667575836181641 × 131072)
    floor (87500.5)     		ty = 87500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57566 / 87500 ti = "17/57566/87500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57566/87500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57566 ÷ 217
    57566 ÷ 131072     		x = 0.439193725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87500 ÷ 217
    87500 ÷ 131072     		y = 0.667572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439193725585938 × 2 - 1) × π
    -0.121612548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38205709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.33514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05288606325491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38205709} λ = -0.38205709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05288606325491))-π/2
    2×atan(0.34892926260986)-π/2
    2×0.335720614788902-π/2
    0.671441229577805-1.57079632675     		φ = -0.89935510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38205709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.890259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89935510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.529252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57566 KachelY 87500 -0.38205709 -0.89935510 -21.890259 -51.529252
    Oben rechts KachelX + 1 57567 KachelY 87500 -0.38200915 -0.89935510 -21.887512 -51.529252
    Unten links KachelX 57566 KachelY + 1 87501 -0.38205709 -0.89938492 -21.890259 -51.530960
    Unten rechts KachelX + 1 57567 KachelY + 1 87501 -0.38200915 -0.89938492 -21.887512 -51.530960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89935510--0.89938492) × R
    2.98200000000692e-05 × 6371000     		dl = 189.983220000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89935510--0.89938492) × R
    2.98200000000692e-05 × 6371000     		dr = 189.983220000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38205709--0.38200915) × cos(-0.89935510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622115006497119 × 6371000     		do = 190.009936224363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38205709--0.38200915) × cos(-0.89938492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622091659371062 × 6371000     		du = 190.00280541111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89935510)-sin(-0.89938492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622115006497119-0.622091659371062)×R²
    abs(-0.38200915--0.38205709)×2.33471260571161e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33471260571161e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33471260571161e-05×40589641000000     		ar = 36098.0221513937m²