Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57566 / 84834
↖ ↑ ↗
← S 46.743625°
W 21.890259°		 ← 209.30 m → S 46.743625°
W 21.887512°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
S 46.745507°
W 21.890259°		 ← 209.29 m →
43 803 m²		 S 46.745507°
W 21.887512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439197540283203 y=0.647235870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439197540283203 × 217)
    floor (0.439197540283203 × 131072)
    floor (57566.5)     		tx = 57566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647235870361328 × 217)
    floor (0.647235870361328 × 131072)
    floor (84834.5)     		ty = 84834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57566 / 84834 ti = "17/57566/84834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57566/84834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57566 ÷ 217
    57566 ÷ 131072     		x = 0.439193725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84834 ÷ 217
    84834 ÷ 131072     		y = 0.647232055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439193725585938 × 2 - 1) × π
    -0.121612548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38205709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647232055664062 × 2 - 1) × π
    -0.294464111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.925086288867844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38205709} λ = -0.38205709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925086288867844))-π/2
    2×atan(0.396497204303975)-π/2
    2×0.377483083132825-π/2
    0.754966166265651-1.57079632675     		φ = -0.81583016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38205709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.890259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81583016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.743625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57566 KachelY 84834 -0.38205709 -0.81583016 -21.890259 -46.743625
    Oben rechts KachelX + 1 57567 KachelY 84834 -0.38200915 -0.81583016 -21.887512 -46.743625
    Unten links KachelX 57566 KachelY + 1 84835 -0.38205709 -0.81586301 -21.890259 -46.745507
    Unten rechts KachelX + 1 57567 KachelY + 1 84835 -0.38200915 -0.81586301 -21.887512 -46.745507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81583016--0.81586301) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dl = 209.287350000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81583016--0.81586301) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dr = 209.287350000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38205709--0.38200915) × cos(-0.81583016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685264028504748 × 6371000     		do = 209.297273001307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38205709--0.38200915) × cos(-0.81586301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685240103653187 × 6371000     		du = 209.289965735814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81583016)-sin(-0.81586301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685264028504748-0.685240103653187)×R²
    abs(-0.38200915--0.38205709)×2.3924851561552e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3924851561552e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3924851561552e-05×40589641000000     		ar = 43802.5069737154m²