Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57565 / 44253
↖ ↑ ↗
← N 50.350719°
W 21.893006°		 ← 194.89 m → N 50.350719°
W 21.890259°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
N 50.348966°
W 21.893006°		 ← 194.90 m →
37 982 m²		 N 50.348966°
W 21.890259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439189910888672 y=0.337627410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439189910888672 × 217)
    floor (0.439189910888672 × 131072)
    floor (57565.5)     		tx = 57565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337627410888672 × 217)
    floor (0.337627410888672 × 131072)
    floor (44253.5)     		ty = 44253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57565 / 44253 ti = "17/57565/44253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57565/44253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57565 ÷ 217
    57565 ÷ 131072     		x = 0.439186096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44253 ÷ 217
    44253 ÷ 131072     		y = 0.337623596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439186096191406 × 2 - 1) × π
    -0.121627807617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38210503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337623596191406 × 2 - 1) × π
    0.324752807617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.02024103461366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38210503} λ = -0.38210503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02024103461366))-π/2
    2×atan(2.77386328045739)-π/2
    2×1.22479107154194-π/2
    2.44958214308389-1.57079632675     		φ = 0.87878582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38210503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.893006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87878582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.350719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57565 KachelY 44253 -0.38210503 0.87878582 -21.893006 50.350719
    Oben rechts KachelX + 1 57566 KachelY 44253 -0.38205709 0.87878582 -21.890259 50.350719
    Unten links KachelX 57565 KachelY + 1 44254 -0.38210503 0.87875523 -21.893006 50.348966
    Unten rechts KachelX + 1 57566 KachelY + 1 44254 -0.38205709 0.87875523 -21.890259 50.348966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87878582-0.87875523) × R
    3.05900000000525e-05 × 6371000     		dl = 194.888890000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87878582-0.87875523) × R
    3.05900000000525e-05 × 6371000     		dr = 194.888890000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38210503--0.38205709) × cos(0.87878582) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63808649004604 × 6371000     		do = 194.888038406412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38210503--0.38205709) × cos(0.87875523) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638110042967506 × 6371000     		du = 194.89523207488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87878582)-sin(0.87875523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63808649004604-0.638110042967506)×R²
    abs(-0.38205709--0.38210503)×2.35529214658303e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35529214658303e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35529214658303e-05×40589641000000     		ar = 37982.214465369m²