Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57564 / 84840
↖ ↑ ↗
← S 46.754917°
W 21.895752°		 ← 209.21 m → S 46.754917°
W 21.893006°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
S 46.756798°
W 21.895752°		 ← 209.20 m →
43 771 m²		 S 46.756798°
W 21.893006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439182281494141 y=0.647281646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439182281494141 × 217)
    floor (0.439182281494141 × 131072)
    floor (57564.5)     		tx = 57564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647281646728516 × 217)
    floor (0.647281646728516 × 131072)
    floor (84840.5)     		ty = 84840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57564 / 84840 ti = "17/57564/84840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57564/84840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57564 ÷ 217
    57564 ÷ 131072     		x = 0.439178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84840 ÷ 217
    84840 ÷ 131072     		y = 0.64727783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.12164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38215296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.2945556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.925373910265564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38215296} λ = -0.38215296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925373910265564))-π/2
    2×atan(0.396383179622636)-π/2
    2×0.377384545155566-π/2
    0.754769090311132-1.57079632675     		φ = -0.81602724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38215296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.895752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81602724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.754917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57564 KachelY 84840 -0.38215296 -0.81602724 -21.895752 -46.754917
    Oben rechts KachelX + 1 57565 KachelY 84840 -0.38210503 -0.81602724 -21.893006 -46.754917
    Unten links KachelX 57564 KachelY + 1 84841 -0.38215296 -0.81606008 -21.895752 -46.756798
    Unten rechts KachelX + 1 57565 KachelY + 1 84841 -0.38210503 -0.81606008 -21.893006 -46.756798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81602724--0.81606008) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dl = 209.223639999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81602724--0.81606008) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dr = 209.223639999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38215296--0.38210503) × cos(-0.81602724) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68512048287262 × 6371000     		do = 209.209781444449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38215296--0.38210503) × cos(-0.81606008) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.685096560869671 × 6371000     		du = 209.202476573067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81602724)-sin(-0.81606008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68512048287262-0.685096560869671)×R²
    abs(-0.38210503--0.38215296)×2.3922002949428e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3922002949428e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3922002949428e-05×40589641000000     		ar = 43770.8678253105m²