Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57562 / 85040
↖ ↑ ↗
← S 47.129951°
W 21.901245°		 ← 207.79 m → S 47.129951°
W 21.898498°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
S 47.131819°
W 21.901245°		 ← 207.79 m →
43 170 m²		 S 47.131819°
W 21.898498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439167022705078 y=0.648807525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439167022705078 × 217)
    floor (0.439167022705078 × 131072)
    floor (57562.5)     		tx = 57562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648807525634766 × 217)
    floor (0.648807525634766 × 131072)
    floor (85040.5)     		ty = 85040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57562 / 85040 ti = "17/57562/85040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57562/85040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57562 ÷ 217
    57562 ÷ 131072     		x = 0.439163208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85040 ÷ 217
    85040 ÷ 131072     		y = 0.6488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439163208007812 × 2 - 1) × π
    -0.121673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38224884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6488037109375 × 2 - 1) × π
    -0.297607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.934961290189575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38224884} λ = -0.38224884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934961290189575))-π/2
    2×atan(0.392601062750087)-π/2
    2×0.374111754903257-π/2
    0.748223509806514-1.57079632675     		φ = -0.82257282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38224884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.901245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82257282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.129951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57562 KachelY 85040 -0.38224884 -0.82257282 -21.901245 -47.129951
    Oben rechts KachelX + 1 57563 KachelY 85040 -0.38220090 -0.82257282 -21.898498 -47.129951
    Unten links KachelX 57562 KachelY + 1 85041 -0.38224884 -0.82260543 -21.901245 -47.131819
    Unten rechts KachelX + 1 57563 KachelY + 1 85041 -0.38220090 -0.82260543 -21.898498 -47.131819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82257282--0.82260543) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dl = 207.758309999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82257282--0.82260543) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dr = 207.758309999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38224884--0.38220090) × cos(-0.82257282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680337844802052 × 6371000     		do = 207.792689698536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38224884--0.38220090) × cos(-0.82260543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680313944615657 × 6371000     		du = 207.78538996642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82257282)-sin(-0.82260543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680337844802052-0.680313944615657)×R²
    abs(-0.38220090--0.38224884)×2.39001863950872e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39001863950872e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39001863950872e-05×40589641000000     		ar = 43169.8997558594m²