Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57562 / 84287
↖ ↑ ↗
← S 45.704261°
W 21.901245°		 ← 213.30 m → S 45.704261°
W 21.898498°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
S 45.706179°
W 21.901245°		 ← 213.29 m →
45 496 m²		 S 45.706179°
W 21.898498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439167022705078 y=0.643062591552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439167022705078 × 217)
    floor (0.439167022705078 × 131072)
    floor (57562.5)     		tx = 57562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643062591552734 × 217)
    floor (0.643062591552734 × 131072)
    floor (84287.5)     		ty = 84287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57562 / 84287 ti = "17/57562/84287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57562/84287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57562 ÷ 217
    57562 ÷ 131072     		x = 0.439163208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84287 ÷ 217
    84287 ÷ 131072     		y = 0.643058776855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439163208007812 × 2 - 1) × π
    -0.121673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38224884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643058776855469 × 2 - 1) × π
    -0.286117553710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.898864804775673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38224884} λ = -0.38224884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898864804775673))-π/2
    2×atan(0.407031457742544)-π/2
    2×0.386553243257224-π/2
    0.773106486514447-1.57079632675     		φ = -0.79768984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38224884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.901245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79768984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.704261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57562 KachelY 84287 -0.38224884 -0.79768984 -21.901245 -45.704261
    Oben rechts KachelX + 1 57563 KachelY 84287 -0.38220090 -0.79768984 -21.898498 -45.704261
    Unten links KachelX 57562 KachelY + 1 84288 -0.38224884 -0.79772332 -21.901245 -45.706179
    Unten rechts KachelX + 1 57563 KachelY + 1 84288 -0.38220090 -0.79772332 -21.898498 -45.706179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79768984--0.79772332) × R
    3.34800000000302e-05 × 6371000     		dl = 213.301080000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79768984--0.79772332) × R
    3.34800000000302e-05 × 6371000     		dr = 213.301080000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38224884--0.38220090) × cos(-0.79768984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698362056115056 × 6371000     		do = 213.297747776723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38224884--0.38220090) × cos(-0.79772332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698338092591969 × 6371000     		du = 213.290428699951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79768984)-sin(-0.79772332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698362056115056-0.698338092591969)×R²
    abs(-0.38220090--0.38224884)×2.39635230868673e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39635230868673e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39635230868673e-05×40589641000000     		ar = 45495.8593831729m²