Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57562 / 44422
↖ ↑ ↗
← N 50.053612°
W 21.901245°		 ← 196.10 m → N 50.053612°
W 21.898498°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
N 50.051848°
W 21.901245°		 ← 196.11 m →
38 457 m²		 N 50.051848°
W 21.898498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439167022705078 y=0.338916778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439167022705078 × 217)
    floor (0.439167022705078 × 131072)
    floor (57562.5)     		tx = 57562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338916778564453 × 217)
    floor (0.338916778564453 × 131072)
    floor (44422.5)     		ty = 44422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57562 / 44422 ti = "17/57562/44422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57562/44422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57562 ÷ 217
    57562 ÷ 131072     		x = 0.439163208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44422 ÷ 217
    44422 ÷ 131072     		y = 0.338912963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439163208007812 × 2 - 1) × π
    -0.121673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38224884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338912963867188 × 2 - 1) × π
    0.322174072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01213969857787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38224884} λ = -0.38224884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01213969857787))-π/2
    2×atan(2.75148206319558)-π/2
    2×1.22219832853275-π/2
    2.44439665706549-1.57079632675     		φ = 0.87360033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38224884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.901245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87360033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.053612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57562 KachelY 44422 -0.38224884 0.87360033 -21.901245 50.053612
    Oben rechts KachelX + 1 57563 KachelY 44422 -0.38220090 0.87360033 -21.898498 50.053612
    Unten links KachelX 57562 KachelY + 1 44423 -0.38224884 0.87356955 -21.901245 50.051848
    Unten rechts KachelX + 1 57563 KachelY + 1 44423 -0.38220090 0.87356955 -21.898498 50.051848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87360033-0.87356955) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dl = 196.099380000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87360033-0.87356955) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dr = 196.099380000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38224884--0.38220090) × cos(0.87360033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642070537545612 × 6371000     		do = 196.104869061938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38224884--0.38220090) × cos(0.87356955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642094134591997 × 6371000     		du = 196.112076207292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87360033)-sin(0.87356955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642070537545612-0.642094134591997)×R²
    abs(-0.38220090--0.38224884)×2.35970463853263e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35970463853263e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35970463853263e-05×40589641000000     		ar = 38456.74989942m²