Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57561 / 87426
↖ ↑ ↗
← S 51.402632°
W 21.903991°		 ← 190.50 m → S 51.402632°
W 21.901245°		 →
↑
190.56 m
↓
↑
190.56 m
↓
S 51.404346°
W 21.903991°		 ← 190.49 m →
36 300 m²		 S 51.404346°
W 21.901245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439159393310547 y=0.667011260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439159393310547 × 217)
    floor (0.439159393310547 × 131072)
    floor (57561.5)     		tx = 57561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667011260986328 × 217)
    floor (0.667011260986328 × 131072)
    floor (87426.5)     		ty = 87426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57561 / 87426 ti = "17/57561/87426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57561/87426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57561 ÷ 217
    57561 ÷ 131072     		x = 0.439155578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87426 ÷ 217
    87426 ÷ 131072     		y = 0.667007446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439155578613281 × 2 - 1) × π
    -0.121688842773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38229677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667007446289062 × 2 - 1) × π
    -0.334014892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04933873268303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38229677} λ = -0.38229677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04933873268303))-π/2
    2×atan(0.350169228033905)-π/2
    2×0.336825571372127-π/2
    0.673651142744254-1.57079632675     		φ = -0.89714518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38229677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.903991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89714518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.402632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57561 KachelY 87426 -0.38229677 -0.89714518 -21.903991 -51.402632
    Oben rechts KachelX + 1 57562 KachelY 87426 -0.38224884 -0.89714518 -21.901245 -51.402632
    Unten links KachelX 57561 KachelY + 1 87427 -0.38229677 -0.89717509 -21.903991 -51.404346
    Unten rechts KachelX + 1 57562 KachelY + 1 87427 -0.38224884 -0.89717509 -21.901245 -51.404346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89714518--0.89717509) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dl = 190.556609999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89714518--0.89717509) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dr = 190.556609999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38229677--0.38224884) × cos(-0.89714518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623843689503186 × 6371000     		do = 190.498175429499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38229677--0.38224884) × cos(-0.89717509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623820313089502 × 6371000     		du = 190.491037160362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89714518)-sin(-0.89717509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623843689503186-0.623820313089502)×R²
    abs(-0.38224884--0.38229677)×2.33764136845505e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33764136845505e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33764136845505e-05×40589641000000     		ar = 36300.0064013401m²