Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57561 / 84091
↖ ↑ ↗
← S 45.327048°
W 21.903991°		 ← 214.69 m → S 45.327048°
W 21.901245°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 45.328978°
W 21.903991°		 ← 214.68 m →
46 093 m²		 S 45.328978°
W 21.901245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439159393310547 y=0.641567230224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439159393310547 × 217)
    floor (0.439159393310547 × 131072)
    floor (57561.5)     		tx = 57561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641567230224609 × 217)
    floor (0.641567230224609 × 131072)
    floor (84091.5)     		ty = 84091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57561 / 84091 ti = "17/57561/84091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57561/84091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57561 ÷ 217
    57561 ÷ 131072     		x = 0.439155578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84091 ÷ 217
    84091 ÷ 131072     		y = 0.641563415527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439155578613281 × 2 - 1) × π
    -0.121688842773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38229677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641563415527344 × 2 - 1) × π
    -0.283126831054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.889469172450142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38229677} λ = -0.38229677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889469172450142))-π/2
    2×atan(0.410873798006508)-π/2
    2×0.389845052244654-π/2
    0.779690104489307-1.57079632675     		φ = -0.79110622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38229677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.903991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79110622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.327048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57561 KachelY 84091 -0.38229677 -0.79110622 -21.903991 -45.327048
    Oben rechts KachelX + 1 57562 KachelY 84091 -0.38224884 -0.79110622 -21.901245 -45.327048
    Unten links KachelX 57561 KachelY + 1 84092 -0.38229677 -0.79113992 -21.903991 -45.328978
    Unten rechts KachelX + 1 57562 KachelY + 1 84092 -0.38224884 -0.79113992 -21.901245 -45.328978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79110622--0.79113992) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dl = 214.702700000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79110622--0.79113992) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dr = 214.702700000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38229677--0.38224884) × cos(-0.79110622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.703059078159794 × 6371000     		do = 214.687547316935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38229677--0.38224884) × cos(-0.79113992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70303511263086 × 6371000     		du = 214.680229154369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79110622)-sin(-0.79113992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703059078159794-0.70303511263086)×R²
    abs(-0.38224884--0.38229677)×2.39655289335783e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39655289335783e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39655289335783e-05×40589641000000     		ar = 46093.2104549173m²