Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57561 / 44420
↖ ↑ ↗
← N 50.057139°
W 21.903991°		 ← 196.05 m → N 50.057139°
W 21.901245°		 →
↑
196.10 m
↓
↑
196.10 m
↓
N 50.055375°
W 21.903991°		 ← 196.06 m →
38 446 m²		 N 50.055375°
W 21.901245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439159393310547 y=0.338901519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439159393310547 × 217)
    floor (0.439159393310547 × 131072)
    floor (57561.5)     		tx = 57561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338901519775391 × 217)
    floor (0.338901519775391 × 131072)
    floor (44420.5)     		ty = 44420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57561 / 44420 ti = "17/57561/44420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57561/44420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57561 ÷ 217
    57561 ÷ 131072     		x = 0.439155578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44420 ÷ 217
    44420 ÷ 131072     		y = 0.338897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439155578613281 × 2 - 1) × π
    -0.121688842773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38229677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338897705078125 × 2 - 1) × π
    0.32220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01223557237711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38229677} λ = -0.38229677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01223557237711))-π/2
    2×atan(2.75174587088043)-π/2
    2×1.22222910627251-π/2
    2.44445821254502-1.57079632675     		φ = 0.87366189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38229677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.903991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87366189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.057139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57561 KachelY 44420 -0.38229677 0.87366189 -21.903991 50.057139
    Oben rechts KachelX + 1 57562 KachelY 44420 -0.38224884 0.87366189 -21.901245 50.057139
    Unten links KachelX 57561 KachelY + 1 44421 -0.38229677 0.87363111 -21.903991 50.055375
    Unten rechts KachelX + 1 57562 KachelY + 1 44421 -0.38224884 0.87363111 -21.901245 50.055375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87366189-0.87363111) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dl = 196.099380000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87366189-0.87363111) × R
    3.0780000000008e-05 × 6371000     		dr = 196.099380000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38229677--0.38224884) × cos(0.87366189) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.642023341627955 × 6371000     		do = 196.049550907016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38229677--0.38224884) × cos(0.87363111) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.642046939890924 × 6371000     		du = 196.0567569205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87366189)-sin(0.87363111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642023341627955-0.642046939890924)×R²
    abs(-0.38224884--0.38229677)×2.3598262969049e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3598262969049e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3598262969049e-05×40589641000000     		ar = 38445.9019325037m²