Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57560 / 84327
↖ ↑ ↗
← S 45.780933°
W 21.906738°		 ← 213.01 m → S 45.780933°
W 21.903991°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
S 45.782848°
W 21.906738°		 ← 213 m →
45 366 m²		 S 45.782848°
W 21.903991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439151763916016 y=0.643367767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439151763916016 × 217)
    floor (0.439151763916016 × 131072)
    floor (57560.5)     		tx = 57560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643367767333984 × 217)
    floor (0.643367767333984 × 131072)
    floor (84327.5)     		ty = 84327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57560 / 84327 ti = "17/57560/84327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57560/84327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57560 ÷ 217
    57560 ÷ 131072     		x = 0.43914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84327 ÷ 217
    84327 ÷ 131072     		y = 0.643363952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.1217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38234471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643363952636719 × 2 - 1) × π
    -0.286727905273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.900782280760475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38234471} λ = -0.38234471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900782280760475))-π/2
    2×atan(0.406251732488391)-π/2
    2×0.385884156461813-π/2
    0.771768312923625-1.57079632675     		φ = -0.79902801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38234471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79902801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.780933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57560 KachelY 84327 -0.38234471 -0.79902801 -21.906738 -45.780933
    Oben rechts KachelX + 1 57561 KachelY 84327 -0.38229677 -0.79902801 -21.903991 -45.780933
    Unten links KachelX 57560 KachelY + 1 84328 -0.38234471 -0.79906144 -21.906738 -45.782848
    Unten rechts KachelX + 1 57561 KachelY + 1 84328 -0.38229677 -0.79906144 -21.903991 -45.782848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79902801--0.79906144) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79902801--0.79906144) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38234471--0.38229677) × cos(-0.79902801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697403643072289 × 6371000     		do = 213.00502376391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38234471--0.38229677) × cos(-0.79906144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69737968411833 × 6371000     		du = 212.997706082667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79902801)-sin(-0.79906144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697403643072289-0.69737968411833)×R²
    abs(-0.38229677--0.38234471)×2.39589539594576e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39589539594576e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39589539594576e-05×40589641000000     		ar = 45365.5695991447m²