Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57560 / 83982
↖ ↑ ↗
← S 45.116177°
W 21.906738°		 ← 215.53 m → S 45.116177°
W 21.903991°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 45.118114°
W 21.906738°		 ← 215.52 m →
46 439 m²		 S 45.118114°
W 21.903991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439151763916016 y=0.640735626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439151763916016 × 217)
    floor (0.439151763916016 × 131072)
    floor (57560.5)     		tx = 57560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640735626220703 × 217)
    floor (0.640735626220703 × 131072)
    floor (83982.5)     		ty = 83982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57560 / 83982 ti = "17/57560/83982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57560/83982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57560 ÷ 217
    57560 ÷ 131072     		x = 0.43914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83982 ÷ 217
    83982 ÷ 131072     		y = 0.640731811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.1217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38234471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640731811523438 × 2 - 1) × π
    -0.281463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.884244050391556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38234471} λ = -0.38234471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884244050391556))-π/2
    2×atan(0.413026282351242)-π/2
    2×0.391685249584559-π/2
    0.783370499169118-1.57079632675     		φ = -0.78742583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38234471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78742583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.116177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57560 KachelY 83982 -0.38234471 -0.78742583 -21.906738 -45.116177
    Oben rechts KachelX + 1 57561 KachelY 83982 -0.38229677 -0.78742583 -21.903991 -45.116177
    Unten links KachelX 57560 KachelY + 1 83983 -0.38234471 -0.78745965 -21.906738 -45.118114
    Unten rechts KachelX + 1 57561 KachelY + 1 83983 -0.38229677 -0.78745965 -21.903991 -45.118114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78742583--0.78745965) × R
    3.38199999999622e-05 × 6371000     		dl = 215.467219999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78742583--0.78745965) × R
    3.38199999999622e-05 × 6371000     		dr = 215.467219999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38234471--0.38229677) × cos(-0.78742583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705671551754204 × 6371000     		do = 215.530255891335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38234471--0.38229677) × cos(-0.78745965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70564758855816 × 6371000     		du = 215.52293691445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78742583)-sin(-0.78745965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705671551754204-0.70564758855816)×R²
    abs(-0.38229677--0.38234471)×2.39631960432529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39631960432529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39631960432529e-05×40589641000000     		ar = 46438.9165674866m²