Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5756 / 9860
↖ ↑ ↗
← S 34.379713°
W 53.525391°		 ← 2 016.47 m → S 34.379713°
W 53.503418°		 →
↑
2 016.23 m
↓
↑
2 016.23 m
↓
S 34.397845°
W 53.525391°		 ← 2 016.03 m →
4 065 229 m²		 S 34.397845°
W 53.503418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.351348876953125 y=0.601837158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.351348876953125 × 214)
    floor (0.351348876953125 × 16384)
    floor (5756.5)     		tx = 5756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601837158203125 × 214)
    floor (0.601837158203125 × 16384)
    floor (9860.5)     		ty = 9860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5756 / 9860 ti = "14/5756/9860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5756/9860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5756 ÷ 214
    5756 ÷ 16384     		x = 0.351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9860 ÷ 214
    9860 ÷ 16384     		y = 0.601806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.29736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.93419430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601806640625 × 2 - 1) × π
    -0.20361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.639669988530029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93419430} λ = -0.93419430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.639669988530029))-π/2
    2×atan(0.527466465307239)-π/2
    2×0.485378573195802-π/2
    0.970757146391605-1.57079632675     		φ = -0.60003918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93419430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60003918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.379713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5756 KachelY 9860 -0.93419430 -0.60003918 -53.525391 -34.379713
    Oben rechts KachelX + 1 5757 KachelY 9860 -0.93381080 -0.60003918 -53.503418 -34.379713
    Unten links KachelX 5756 KachelY + 1 9861 -0.93419430 -0.60035565 -53.525391 -34.397845
    Unten rechts KachelX + 1 5757 KachelY + 1 9861 -0.93381080 -0.60035565 -53.503418 -34.397845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60003918--0.60035565) × R
    0.000316470000000013 × 6371000     		dl = 2016.23037000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60003918--0.60035565) × R
    0.000316470000000013 × 6371000     		dr = 2016.23037000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93419430--0.93381080) × cos(-0.60003918) × R
    0.000383499999999981 × 0.825313491584101 × 6371000     		do = 2016.47070974727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93419430--0.93381080) × cos(-0.60035565) × R
    0.000383499999999981 × 0.825134747621168 × 6371000     		du = 2016.03398846563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60003918)-sin(-0.60035565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825313491584101-0.825134747621168)×R²
    abs(-0.93381080--0.93419430)×0.000178743962933048×R²
    0.000383499999999981×0.000178743962933048×6371000²
    0.000383499999999981×0.000178743962933048×40589641000000     		ar = 4065229.25378125m²