Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57559 / 87442
↖ ↑ ↗
← S 51.430039°
W 21.909485°		 ← 190.42 m → S 51.430039°
W 21.906738°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
S 51.431752°
W 21.909485°		 ← 190.42 m →
36 262 m²		 S 51.431752°
W 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439144134521484 y=0.667133331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439144134521484 × 217)
    floor (0.439144134521484 × 131072)
    floor (57559.5)     		tx = 57559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667133331298828 × 217)
    floor (0.667133331298828 × 131072)
    floor (87442.5)     		ty = 87442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57559 / 87442 ti = "17/57559/87442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57559/87442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57559 ÷ 217
    57559 ÷ 131072     		x = 0.439140319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87442 ÷ 217
    87442 ÷ 131072     		y = 0.667129516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439140319824219 × 2 - 1) × π
    -0.121719360351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38239265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667129516601562 × 2 - 1) × π
    -0.334259033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05010572307695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38239265} λ = -0.38239265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05010572307695))-π/2
    2×atan(0.349900754571201)-π/2
    2×0.33658640201497-π/2
    0.67317280402994-1.57079632675     		φ = -0.89762352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38239265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.909485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89762352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.430039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57559 KachelY 87442 -0.38239265 -0.89762352 -21.909485 -51.430039
    Oben rechts KachelX + 1 57560 KachelY 87442 -0.38234471 -0.89762352 -21.906738 -51.430039
    Unten links KachelX 57559 KachelY + 1 87443 -0.38239265 -0.89765341 -21.909485 -51.431752
    Unten rechts KachelX + 1 57560 KachelY + 1 87443 -0.38234471 -0.89765341 -21.906738 -51.431752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89762352--0.89765341) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dl = 190.429189999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89762352--0.89765341) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dr = 190.429189999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38239265--0.38234471) × cos(-0.89762352) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623469771933436 × 6371000     		do = 190.423716460497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38239265--0.38234471) × cos(-0.89765341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623446402234491 × 6371000     		du = 190.416578752903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89762352)-sin(-0.89765341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623469771933436-0.623446402234491)×R²
    abs(-0.38234471--0.38239265)×2.33696989455634e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33696989455634e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33696989455634e-05×40589641000000     		ar = 36261.5544711377m²