Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57559 / 84326
↖ ↑ ↗
← S 45.779017°
W 21.909485°		 ← 213.01 m → S 45.779017°
W 21.906738°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
S 45.780933°
W 21.909485°		 ← 213.01 m →
45 367 m²		 S 45.780933°
W 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439144134521484 y=0.643360137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439144134521484 × 217)
    floor (0.439144134521484 × 131072)
    floor (57559.5)     		tx = 57559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643360137939453 × 217)
    floor (0.643360137939453 × 131072)
    floor (84326.5)     		ty = 84326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57559 / 84326 ti = "17/57559/84326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57559/84326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57559 ÷ 217
    57559 ÷ 131072     		x = 0.439140319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84326 ÷ 217
    84326 ÷ 131072     		y = 0.643356323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439140319824219 × 2 - 1) × π
    -0.121719360351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38239265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643356323242188 × 2 - 1) × π
    -0.286712646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900734343860855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38239265} λ = -0.38239265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900734343860855))-π/2
    2×atan(0.406271207403691)-π/2
    2×0.385900872433099-π/2
    0.771801744866198-1.57079632675     		φ = -0.79899458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38239265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.909485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79899458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.779017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57559 KachelY 84326 -0.38239265 -0.79899458 -21.909485 -45.779017
    Oben rechts KachelX + 1 57560 KachelY 84326 -0.38234471 -0.79899458 -21.906738 -45.779017
    Unten links KachelX 57559 KachelY + 1 84327 -0.38239265 -0.79902801 -21.909485 -45.780933
    Unten rechts KachelX + 1 57560 KachelY + 1 84327 -0.38234471 -0.79902801 -21.906738 -45.780933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79899458--0.79902801) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79899458--0.79902801) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38239265--0.38234471) × cos(-0.79899458) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.697427601246855 × 6371000     		do = 213.012341207353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38239265--0.38234471) × cos(-0.79902801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.697403643072289 × 6371000     		du = 213.005023764157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79899458)-sin(-0.79902801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697427601246855-0.697403643072289)×R²
    abs(-0.38234471--0.38239265)×2.39581745656858e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39581745656858e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39581745656858e-05×40589641000000     		ar = 45367.1281120336m²