Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57557 / 84125
↖ ↑ ↗
← S 45.392664°
W 21.914978°		 ← 214.44 m → S 45.392664°
W 21.912232°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
S 45.394593°
W 21.914978°		 ← 214.43 m →
45 999 m²		 S 45.394593°
W 21.912232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439128875732422 y=0.641826629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439128875732422 × 217)
    floor (0.439128875732422 × 131072)
    floor (57557.5)     		tx = 57557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641826629638672 × 217)
    floor (0.641826629638672 × 131072)
    floor (84125.5)     		ty = 84125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57557 / 84125 ti = "17/57557/84125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57557/84125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57557 ÷ 217
    57557 ÷ 131072     		x = 0.439125061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84125 ÷ 217
    84125 ÷ 131072     		y = 0.641822814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439125061035156 × 2 - 1) × π
    -0.121749877929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38248852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641822814941406 × 2 - 1) × π
    -0.283645629882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.891099027037224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38248852} λ = -0.38248852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891099027037224))-π/2
    2×atan(0.410204678893665)-π/2
    2×0.389272442242795-π/2
    0.778544884485589-1.57079632675     		φ = -0.79225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38248852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.914978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.392664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57557 KachelY 84125 -0.38248852 -0.79225144 -21.914978 -45.392664
    Oben rechts KachelX + 1 57558 KachelY 84125 -0.38244059 -0.79225144 -21.912232 -45.392664
    Unten links KachelX 57557 KachelY + 1 84126 -0.38248852 -0.79228511 -21.914978 -45.394593
    Unten rechts KachelX + 1 57558 KachelY + 1 84126 -0.38244059 -0.79228511 -21.912232 -45.394593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79225144--0.79228511) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dl = 214.511569999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79225144--0.79228511) × R
    3.36699999999857e-05 × 6371000     		dr = 214.511569999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38248852--0.38244059) × cos(-0.79225144) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.702244215342846 × 6371000     		do = 214.438719152731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38248852--0.38244059) × cos(-0.79228511) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.702220244055088 × 6371000     		du = 214.43139923164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79225144)-sin(-0.79228511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702244215342846-0.702220244055088)×R²
    abs(-0.38244059--0.38248852)×2.39712877573295e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39712877573295e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39712877573295e-05×40589641000000     		ar = 45998.8012145256m²