Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57556 / 87228
↖ ↑ ↗
← S 51.062113°
W 21.917725°		 ← 191.95 m → S 51.062113°
W 21.914978°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
S 51.063838°
W 21.917725°		 ← 191.95 m →
36 834 m²		 S 51.063838°
W 21.914978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439121246337891 y=0.665500640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439121246337891 × 217)
    floor (0.439121246337891 × 131072)
    floor (57556.5)     		tx = 57556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665500640869141 × 217)
    floor (0.665500640869141 × 131072)
    floor (87228.5)     		ty = 87228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57556 / 87228 ti = "17/57556/87228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57556/87228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57556 ÷ 217
    57556 ÷ 131072     		x = 0.439117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87228 ÷ 217
    87228 ÷ 131072     		y = 0.665496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.12176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38253646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.33099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03984722655826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38253646} λ = -0.38253646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03984722655826))-π/2
    2×atan(0.35350868457202)-π/2
    2×0.339797170210258-π/2
    0.679594340420516-1.57079632675     		φ = -0.89120199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38253646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.917725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89120199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.062113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57556 KachelY 87228 -0.38253646 -0.89120199 -21.917725 -51.062113
    Oben rechts KachelX + 1 57557 KachelY 87228 -0.38248852 -0.89120199 -21.914978 -51.062113
    Unten links KachelX 57556 KachelY + 1 87229 -0.38253646 -0.89123211 -21.917725 -51.063838
    Unten rechts KachelX + 1 57557 KachelY + 1 87229 -0.38248852 -0.89123211 -21.914978 -51.063838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89120199--0.89123211) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dl = 191.894520000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89120199--0.89123211) × R
    3.01200000000224e-05 × 6371000     		dr = 191.894520000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38253646--0.38248852) × cos(-0.89120199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628477539647912 × 6371000     		do = 191.953217620439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38253646--0.38248852) × cos(-0.89123211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628454111191517 × 6371000     		du = 191.946061966808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89120199)-sin(-0.89123211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628477539647912-0.628454111191517)×R²
    abs(-0.38248852--0.38253646)×2.34284563951359e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34284563951359e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34284563951359e-05×40589641000000     		ar = 36834.0839951266m²