Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57556 / 44188
↖ ↑ ↗
← N 50.464498°
W 21.917725°		 ← 194.42 m → N 50.464498°
W 21.914978°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
N 50.462750°
W 21.917725°		 ← 194.43 m →
37 792 m²		 N 50.462750°
W 21.914978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439121246337891 y=0.337131500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439121246337891 × 217)
    floor (0.439121246337891 × 131072)
    floor (57556.5)     		tx = 57556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337131500244141 × 217)
    floor (0.337131500244141 × 131072)
    floor (44188.5)     		ty = 44188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57556 / 44188 ti = "17/57556/44188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57556/44188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57556 ÷ 217
    57556 ÷ 131072     		x = 0.439117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44188 ÷ 217
    44188 ÷ 131072     		y = 0.337127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.12176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38253646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337127685546875 × 2 - 1) × π
    0.32574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02335693308896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38253646} λ = -0.38253646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02335693308896))-π/2
    2×atan(2.78251983629449)-π/2
    2×1.22578398571111-π/2
    2.45156797142222-1.57079632675     		φ = 0.88077164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38253646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.917725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88077164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.464498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57556 KachelY 44188 -0.38253646 0.88077164 -21.917725 50.464498
    Oben rechts KachelX + 1 57557 KachelY 44188 -0.38248852 0.88077164 -21.914978 50.464498
    Unten links KachelX 57556 KachelY + 1 44189 -0.38253646 0.88074113 -21.917725 50.462750
    Unten rechts KachelX + 1 57557 KachelY + 1 44189 -0.38248852 0.88074113 -21.914978 50.462750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88077164-0.88074113) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88077164-0.88074113) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38253646--0.38248852) × cos(0.88077164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636556221620188 × 6371000     		do = 194.420655040048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38253646--0.38248852) × cos(0.88074113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636579751560386 × 6371000     		du = 194.427841689445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88077164)-sin(0.88074113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636556221620188-0.636579751560386)×R²
    abs(-0.38248852--0.38253646)×2.35299401982747e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35299401982747e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35299401982747e-05×40589641000000     		ar = 37792.0318049237m²