Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57555 / 84829
↖ ↑ ↗
← S 46.734214°
W 21.920471°		 ← 209.33 m → S 46.734214°
W 21.917725°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
S 46.736096°
W 21.920471°		 ← 209.33 m →
43 810 m²		 S 46.736096°
W 21.917725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439113616943359 y=0.647197723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439113616943359 × 217)
    floor (0.439113616943359 × 131072)
    floor (57555.5)     		tx = 57555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647197723388672 × 217)
    floor (0.647197723388672 × 131072)
    floor (84829.5)     		ty = 84829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57555 / 84829 ti = "17/57555/84829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57555/84829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57555 ÷ 217
    57555 ÷ 131072     		x = 0.439109802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84829 ÷ 217
    84829 ÷ 131072     		y = 0.647193908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439109802246094 × 2 - 1) × π
    -0.121780395507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38258440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647193908691406 × 2 - 1) × π
    -0.294387817382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.924846604369743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38258440} λ = -0.38258440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924846604369743))-π/2
    2×atan(0.396592249927413)-π/2
    2×0.377565213882982-π/2
    0.755130427765963-1.57079632675     		φ = -0.81566590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38258440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.920471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81566590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.734214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57555 KachelY 84829 -0.38258440 -0.81566590 -21.920471 -46.734214
    Oben rechts KachelX + 1 57556 KachelY 84829 -0.38253646 -0.81566590 -21.917725 -46.734214
    Unten links KachelX 57555 KachelY + 1 84830 -0.38258440 -0.81569875 -21.920471 -46.736096
    Unten rechts KachelX + 1 57556 KachelY + 1 84830 -0.38253646 -0.81569875 -21.917725 -46.736096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81566590--0.81569875) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81566590--0.81569875) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38258440--0.38253646) × cos(-0.81566590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685383648951604 × 6371000     		do = 209.333808164806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38258440--0.38253646) × cos(-0.81569875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685359727797945 × 6371000     		du = 209.326502028749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81566590)-sin(-0.81569875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685383648951604-0.685359727797945)×R²
    abs(-0.38253646--0.38258440)×2.39211536590123e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39211536590123e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39211536590123e-05×40589641000000     		ar = 43810.1534392616m²