Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57555 / 44145
↖ ↑ ↗
← N 50.539618°
W 21.920471°		 ← 194.11 m → N 50.539618°
W 21.917725°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
N 50.537872°
W 21.920471°		 ← 194.12 m →
37 683 m²		 N 50.537872°
W 21.917725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439113616943359 y=0.336803436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439113616943359 × 217)
    floor (0.439113616943359 × 131072)
    floor (57555.5)     		tx = 57555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336803436279297 × 217)
    floor (0.336803436279297 × 131072)
    floor (44145.5)     		ty = 44145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57555 / 44145 ti = "17/57555/44145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57555/44145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57555 ÷ 217
    57555 ÷ 131072     		x = 0.439109802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44145 ÷ 217
    44145 ÷ 131072     		y = 0.336799621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439109802246094 × 2 - 1) × π
    -0.121780395507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.38258440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336799621582031 × 2 - 1) × π
    0.326400756835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.02541821977262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38258440} λ = -0.38258440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02541821977262))-π/2
    2×atan(2.78826132277196)-π/2
    2×1.22643952674729-π/2
    2.45287905349459-1.57079632675     		φ = 0.88208273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38258440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.920471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88208273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.539618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57555 KachelY 44145 -0.38258440 0.88208273 -21.920471 50.539618
    Oben rechts KachelX + 1 57556 KachelY 44145 -0.38253646 0.88208273 -21.917725 50.539618
    Unten links KachelX 57555 KachelY + 1 44146 -0.38258440 0.88205226 -21.920471 50.537872
    Unten rechts KachelX + 1 57556 KachelY + 1 44146 -0.38253646 0.88205226 -21.917725 50.537872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88208273-0.88205226) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88208273-0.88205226) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38258440--0.38253646) × cos(0.88208273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635544522468628 × 6371000     		do = 194.1116560778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38258440--0.38253646) × cos(0.88205226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635568046970384 × 6371000     		du = 194.118841066157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88208273)-sin(0.88205226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635544522468628-0.635568046970384)×R²
    abs(-0.38253646--0.38258440)×2.35245017563557e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35245017563557e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35245017563557e-05×40589641000000     		ar = 37682.5003393758m²