Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57554 / 87449
↖ ↑ ↗
← S 51.442025°
W 21.923218°		 ← 190.33 m → S 51.442025°
W 21.920471°		 →
↑
190.30 m
↓
↑
190.30 m
↓
S 51.443736°
W 21.923218°		 ← 190.33 m →
36 220 m²		 S 51.443736°
W 21.920471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439105987548828 y=0.667186737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439105987548828 × 217)
    floor (0.439105987548828 × 131072)
    floor (57554.5)     		tx = 57554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667186737060547 × 217)
    floor (0.667186737060547 × 131072)
    floor (87449.5)     		ty = 87449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57554 / 87449 ti = "17/57554/87449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57554/87449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57554 ÷ 217
    57554 ÷ 131072     		x = 0.439102172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87449 ÷ 217
    87449 ÷ 131072     		y = 0.667182922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439102172851562 × 2 - 1) × π
    -0.121795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38263233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667182922363281 × 2 - 1) × π
    -0.334365844726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.05044128137429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38263233} λ = -0.38263233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05044128137429))-π/2
    2×atan(0.349783362166858)-π/2
    2×0.336481810509212-π/2
    0.672963621018425-1.57079632675     		φ = -0.89783271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38263233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.923218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89783271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.442025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57554 KachelY 87449 -0.38263233 -0.89783271 -21.923218 -51.442025
    Oben rechts KachelX + 1 57555 KachelY 87449 -0.38258440 -0.89783271 -21.920471 -51.442025
    Unten links KachelX 57554 KachelY + 1 87450 -0.38263233 -0.89786258 -21.923218 -51.443736
    Unten rechts KachelX + 1 57555 KachelY + 1 87450 -0.38258440 -0.89786258 -21.920471 -51.443736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89783271--0.89786258) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dl = 190.30176999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89783271--0.89786258) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dr = 190.30176999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38263233--0.38258440) × cos(-0.89783271) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623306203623777 × 6371000     		do = 190.334047650267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38263233--0.38258440) × cos(-0.89786258) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623282845666983 × 6371000     		du = 190.326915017163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89783271)-sin(-0.89786258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623306203623777-0.623282845666983)×R²
    abs(-0.38258440--0.38263233)×2.335795679409e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.335795679409e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.335795679409e-05×40589641000000     		ar = 36220.2274853547m²