Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57554 / 87435
↖ ↑ ↗
← S 51.418051°
W 21.923218°		 ← 190.43 m → S 51.418051°
W 21.920471°		 →
↑
190.49 m
↓
↑
190.49 m
↓
S 51.419764°
W 21.923218°		 ← 190.43 m →
36 276 m²		 S 51.419764°
W 21.920471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439105987548828 y=0.667079925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439105987548828 × 217)
    floor (0.439105987548828 × 131072)
    floor (57554.5)     		tx = 57554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667079925537109 × 217)
    floor (0.667079925537109 × 131072)
    floor (87435.5)     		ty = 87435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57554 / 87435 ti = "17/57554/87435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57554/87435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57554 ÷ 217
    57554 ÷ 131072     		x = 0.439102172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87435 ÷ 217
    87435 ÷ 131072     		y = 0.667076110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439102172851562 × 2 - 1) × π
    -0.121795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38263233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667076110839844 × 2 - 1) × π
    -0.334152221679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.04977016477961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38263233} λ = -0.38263233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04977016477961))-π/2
    2×atan(0.350018186374149)-π/2
    2×0.336691020964474-π/2
    0.673382041928948-1.57079632675     		φ = -0.89741428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38263233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.923218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89741428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.418051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57554 KachelY 87435 -0.38263233 -0.89741428 -21.923218 -51.418051
    Oben rechts KachelX + 1 57555 KachelY 87435 -0.38258440 -0.89741428 -21.920471 -51.418051
    Unten links KachelX 57554 KachelY + 1 87436 -0.38263233 -0.89744418 -21.923218 -51.419764
    Unten rechts KachelX + 1 57555 KachelY + 1 87436 -0.38258440 -0.89744418 -21.920471 -51.419764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89741428--0.89744418) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dl = 190.492900000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89741428--0.89744418) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dr = 190.492900000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38263233--0.38258440) × cos(-0.89741428) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623633352045624 × 6371000     		do = 190.433946356473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38263233--0.38258440) × cos(-0.89744418) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623609978429055 × 6371000     		du = 190.426808941469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89741428)-sin(-0.89744418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623633352045624-0.623609978429055)×R²
    abs(-0.38258440--0.38263233)×2.33736165690113e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33736165690113e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33736165690113e-05×40589641000000     		ar = 36275.6348892239m²