Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57554 / 85841
↖ ↑ ↗
← S 48.605674°
W 21.923218°		 ← 201.92 m → S 48.605674°
W 21.920471°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
S 48.607490°
W 21.923218°		 ← 201.91 m →
40 779 m²		 S 48.607490°
W 21.920471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439105987548828 y=0.654918670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439105987548828 × 217)
    floor (0.439105987548828 × 131072)
    floor (57554.5)     		tx = 57554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654918670654297 × 217)
    floor (0.654918670654297 × 131072)
    floor (85841.5)     		ty = 85841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57554 / 85841 ti = "17/57554/85841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57554/85841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57554 ÷ 217
    57554 ÷ 131072     		x = 0.439102172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85841 ÷ 217
    85841 ÷ 131072     		y = 0.654914855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439102172851562 × 2 - 1) × π
    -0.121795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38263233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654914855957031 × 2 - 1) × π
    -0.309829711914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.97335874678524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38263233} λ = -0.38263233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97335874678524))-π/2
    2×atan(0.377811930027877)-π/2
    2×0.361233642064814-π/2
    0.722467284129628-1.57079632675     		φ = -0.84832904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38263233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.923218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84832904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.605674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57554 KachelY 85841 -0.38263233 -0.84832904 -21.923218 -48.605674
    Oben rechts KachelX + 1 57555 KachelY 85841 -0.38258440 -0.84832904 -21.920471 -48.605674
    Unten links KachelX 57554 KachelY + 1 85842 -0.38263233 -0.84836074 -21.923218 -48.607490
    Unten rechts KachelX + 1 57555 KachelY + 1 85842 -0.38258440 -0.84836074 -21.920471 -48.607490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84832904--0.84836074) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dl = 201.960699999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84832904--0.84836074) × R
    3.16999999999679e-05 × 6371000     		dr = 201.960699999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38263233--0.38258440) × cos(-0.84832904) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.6612375834349 × 6371000     		do = 201.916850790099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38263233--0.38258440) × cos(-0.84836074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661213802505989 × 6371000     		du = 201.909588997372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84832904)-sin(-0.84836074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6612375834349-0.661213802505989)×R²
    abs(-0.38258440--0.38263233)×2.37809289105329e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37809289105329e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37809289105329e-05×40589641000000     		ar = 40778.5352323695m²