Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57553 / 85842
↖ ↑ ↗
← S 48.607490°
W 21.925964°		 ← 201.95 m → S 48.607490°
W 21.923218°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
S 48.609306°
W 21.925964°		 ← 201.94 m →
40 786 m²		 S 48.609306°
W 21.923218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439098358154297 y=0.654926300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439098358154297 × 217)
    floor (0.439098358154297 × 131072)
    floor (57553.5)     		tx = 57553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654926300048828 × 217)
    floor (0.654926300048828 × 131072)
    floor (85842.5)     		ty = 85842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57553 / 85842 ti = "17/57553/85842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57553/85842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57553 ÷ 217
    57553 ÷ 131072     		x = 0.439094543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85842 ÷ 217
    85842 ÷ 131072     		y = 0.654922485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439094543457031 × 2 - 1) × π
    -0.121810913085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38268027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654922485351562 × 2 - 1) × π
    -0.309844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.97340668368486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38268027} λ = -0.38268027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97340668368486))-π/2
    2×atan(0.377793819329401)-π/2
    2×0.361217793510001-π/2
    0.722435587020003-1.57079632675     		φ = -0.84836074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38268027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.925964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84836074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.607490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57553 KachelY 85842 -0.38268027 -0.84836074 -21.925964 -48.607490
    Oben rechts KachelX + 1 57554 KachelY 85842 -0.38263233 -0.84836074 -21.923218 -48.607490
    Unten links KachelX 57553 KachelY + 1 85843 -0.38268027 -0.84839244 -21.925964 -48.609306
    Unten rechts KachelX + 1 57554 KachelY + 1 85843 -0.38263233 -0.84839244 -21.923218 -48.609306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84836074--0.84839244) × R
    3.17000000000789e-05 × 6371000     		dl = 201.960700000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84836074--0.84839244) × R
    3.17000000000789e-05 × 6371000     		dr = 201.960700000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38268027--0.38263233) × cos(-0.84836074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661213802505989 × 6371000     		do = 201.951714928473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38268027--0.38263233) × cos(-0.84839244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661190020912632 × 6371000     		du = 201.944451417724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84836074)-sin(-0.84839244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661213802505989-0.661190020912632)×R²
    abs(-0.38263233--0.38268027)×2.37815933576968e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37815933576968e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37815933576968e-05×40589641000000     		ar = 40785.5762446909m²