Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57553 / 85198
↖ ↑ ↗
← S 47.424371°
W 21.925964°		 ← 206.64 m → S 47.424371°
W 21.923218°		 →
↑
206.61 m
↓
↑
206.61 m
↓
S 47.426229°
W 21.925964°		 ← 206.63 m →
42 693 m²		 S 47.426229°
W 21.923218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439098358154297 y=0.650012969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439098358154297 × 217)
    floor (0.439098358154297 × 131072)
    floor (57553.5)     		tx = 57553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650012969970703 × 217)
    floor (0.650012969970703 × 131072)
    floor (85198.5)     		ty = 85198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57553 / 85198 ti = "17/57553/85198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57553/85198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57553 ÷ 217
    57553 ÷ 131072     		x = 0.439094543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85198 ÷ 217
    85198 ÷ 131072     		y = 0.650009155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439094543457031 × 2 - 1) × π
    -0.121810913085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38268027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650009155273438 × 2 - 1) × π
    -0.300018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.942535320329544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38268027} λ = -0.38268027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942535320329544))-π/2
    2×atan(0.389638723054339)-π/2
    2×0.371542454265046-π/2
    0.743084908530092-1.57079632675     		φ = -0.82771142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38268027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.925964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82771142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.424371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57553 KachelY 85198 -0.38268027 -0.82771142 -21.925964 -47.424371
    Oben rechts KachelX + 1 57554 KachelY 85198 -0.38263233 -0.82771142 -21.923218 -47.424371
    Unten links KachelX 57553 KachelY + 1 85199 -0.38268027 -0.82774385 -21.925964 -47.426229
    Unten rechts KachelX + 1 57554 KachelY + 1 85199 -0.38263233 -0.82774385 -21.923218 -47.426229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82771142--0.82774385) × R
    3.24299999999722e-05 × 6371000     		dl = 206.611529999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82771142--0.82774385) × R
    3.24299999999722e-05 × 6371000     		dr = 206.611529999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38268027--0.38263233) × cos(-0.82771142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676562806211005 × 6371000     		do = 206.639695743337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38268027--0.38263233) × cos(-0.82774385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676538924891867 × 6371000     		du = 206.632401773767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82771142)-sin(-0.82774385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676562806211005-0.676538924891867)×R²
    abs(-0.38263233--0.38268027)×2.38813191386633e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38813191386633e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38813191386633e-05×40589641000000     		ar = 42693.3901908291m²