Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57553 / 44210
↖ ↑ ↗
← N 50.426018°
W 21.925964°		 ← 194.58 m → N 50.426018°
W 21.923218°		 →
↑
194.57 m
↓
↑
194.57 m
↓
N 50.424269°
W 21.925964°		 ← 194.59 m →
37 860 m²		 N 50.424269°
W 21.923218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439098358154297 y=0.337299346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439098358154297 × 217)
    floor (0.439098358154297 × 131072)
    floor (57553.5)     		tx = 57553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337299346923828 × 217)
    floor (0.337299346923828 × 131072)
    floor (44210.5)     		ty = 44210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57553 / 44210 ti = "17/57553/44210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57553/44210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57553 ÷ 217
    57553 ÷ 131072     		x = 0.439094543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44210 ÷ 217
    44210 ÷ 131072     		y = 0.337295532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439094543457031 × 2 - 1) × π
    -0.121810913085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38268027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337295532226562 × 2 - 1) × π
    0.325408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02230232129732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38268027} λ = -0.38268027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02230232129732))-π/2
    2×atan(2.77958690488852)-π/2
    2×1.2254481893483-π/2
    2.4508963786966-1.57079632675     		φ = 0.88010005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38268027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.925964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88010005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.426018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57553 KachelY 44210 -0.38268027 0.88010005 -21.925964 50.426018
    Oben rechts KachelX + 1 57554 KachelY 44210 -0.38263233 0.88010005 -21.923218 50.426018
    Unten links KachelX 57553 KachelY + 1 44211 -0.38268027 0.88006951 -21.925964 50.424269
    Unten rechts KachelX + 1 57554 KachelY + 1 44211 -0.38263233 0.88006951 -21.923218 50.424269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88010005-0.88006951) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dl = 194.570340000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88010005-0.88006951) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dr = 194.570340000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38268027--0.38263233) × cos(0.88010005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637074028584933 × 6371000     		do = 194.578806615207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38268027--0.38263233) × cos(0.88006951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.637097568599909 × 6371000     		du = 194.5859963417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88010005)-sin(0.88006951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637074028584933-0.637097568599909)×R²
    abs(-0.38263233--0.38268027)×2.35400149759535e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35400149759535e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35400149759535e-05×40589641000000     		ar = 37859.9640167065m²