Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57553 / 44141
↖ ↑ ↗
← N 50.546599°
W 21.925964°		 ← 194.08 m → N 50.546599°
W 21.923218°		 →
↑
194.06 m
↓
↑
194.06 m
↓
N 50.544854°
W 21.925964°		 ← 194.09 m →
37 665 m²		 N 50.544854°
W 21.923218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439098358154297 y=0.336772918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439098358154297 × 217)
    floor (0.439098358154297 × 131072)
    floor (57553.5)     		tx = 57553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336772918701172 × 217)
    floor (0.336772918701172 × 131072)
    floor (44141.5)     		ty = 44141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57553 / 44141 ti = "17/57553/44141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57553/44141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57553 ÷ 217
    57553 ÷ 131072     		x = 0.439094543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44141 ÷ 217
    44141 ÷ 131072     		y = 0.336769104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439094543457031 × 2 - 1) × π
    -0.121810913085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38268027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336769104003906 × 2 - 1) × π
    0.326461791992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.0256099673711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38268027} λ = -0.38268027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0256099673711))-π/2
    2×atan(2.78879601644601)-π/2
    2×1.22650045430533-π/2
    2.45300090861066-1.57079632675     		φ = 0.88220458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38268027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.925964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88220458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.546599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57553 KachelY 44141 -0.38268027 0.88220458 -21.925964 50.546599
    Oben rechts KachelX + 1 57554 KachelY 44141 -0.38263233 0.88220458 -21.923218 50.546599
    Unten links KachelX 57553 KachelY + 1 44142 -0.38268027 0.88217412 -21.925964 50.544854
    Unten rechts KachelX + 1 57554 KachelY + 1 44142 -0.38263233 0.88217412 -21.923218 50.544854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88220458-0.88217412) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dl = 194.060660000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88220458-0.88217412) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dr = 194.060660000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38268027--0.38263233) × cos(0.88220458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635450441725542 × 6371000     		do = 194.082921397223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38268027--0.38263233) × cos(0.88217412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635473960865575 × 6371000     		du = 194.090104747972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88220458)-sin(0.88217412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635450441725542-0.635473960865575)×R²
    abs(-0.38263233--0.38268027)×2.35191400329571e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35191400329571e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35191400329571e-05×40589641000000     		ar = 37664.5568269723m²