Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57552 / 44174
↖ ↑ ↗
← N 50.488969°
W 21.928711°		 ← 194.32 m → N 50.488969°
W 21.925964°		 →
↑
194.32 m
↓
↑
194.32 m
↓
N 50.487221°
W 21.928711°		 ← 194.33 m →
37 760 m²		 N 50.487221°
W 21.925964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439090728759766 y=0.337024688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439090728759766 × 217)
    floor (0.439090728759766 × 131072)
    floor (57552.5)     		tx = 57552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337024688720703 × 217)
    floor (0.337024688720703 × 131072)
    floor (44174.5)     		ty = 44174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57552 / 44174 ti = "17/57552/44174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57552/44174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57552 ÷ 217
    57552 ÷ 131072     		x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44174 ÷ 217
    44174 ÷ 131072     		y = 0.337020874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337020874023438 × 2 - 1) × π
    0.325958251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02402804968364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02402804968364))-π/2
    2×atan(2.78438785829182)-π/2
    2×1.22599753215627-π/2
    2.45199506431254-1.57079632675     		φ = 0.88119874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88119874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.488969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57552 KachelY 44174 -0.38272821 0.88119874 -21.928711 50.488969
    Oben rechts KachelX + 1 57553 KachelY 44174 -0.38268027 0.88119874 -21.925964 50.488969
    Unten links KachelX 57552 KachelY + 1 44175 -0.38272821 0.88116824 -21.928711 50.487221
    Unten rechts KachelX + 1 57553 KachelY + 1 44175 -0.38268027 0.88116824 -21.925964 50.487221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88119874-0.88116824) × R
    3.04999999999334e-05 × 6371000     		dl = 194.315499999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88119874-0.88116824) × R
    3.04999999999334e-05 × 6371000     		dr = 194.315499999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38268027) × cos(0.88119874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636226771110261 × 6371000     		do = 194.32003237426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38268027) × cos(0.88116824) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636250301628489 × 6371000     		du = 194.327219200202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88119874)-sin(0.88116824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636226771110261-0.636250301628489)×R²
    abs(-0.38268027--0.38272821)×2.3530518228454e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3530518228454e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3530518228454e-05×40589641000000     		ar = 37760.092509462m²