Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57551 / 87283
↖ ↑ ↗
← S 51.156954°
W 21.931457°		 ← 191.52 m → S 51.156954°
W 21.928711°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
S 51.158677°
W 21.931457°		 ← 191.51 m →
36 678 m²		 S 51.158677°
W 21.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439083099365234 y=0.665920257568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439083099365234 × 217)
    floor (0.439083099365234 × 131072)
    floor (57551.5)     		tx = 57551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665920257568359 × 217)
    floor (0.665920257568359 × 131072)
    floor (87283.5)     		ty = 87283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57551 / 87283 ti = "17/57551/87283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57551/87283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57551 ÷ 217
    57551 ÷ 131072     		x = 0.439079284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87283 ÷ 217
    87283 ÷ 131072     		y = 0.665916442871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439079284667969 × 2 - 1) × π
    -0.121841430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38277614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665916442871094 × 2 - 1) × π
    -0.331832885742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.04248375603736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38277614} λ = -0.38277614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04248375603736))-π/2
    2×atan(0.352577876095215)-π/2
    2×0.338969519753635-π/2
    0.677939039507271-1.57079632675     		φ = -0.89285729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38277614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.931457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89285729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.156954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57551 KachelY 87283 -0.38277614 -0.89285729 -21.931457 -51.156954
    Oben rechts KachelX + 1 57552 KachelY 87283 -0.38272821 -0.89285729 -21.928711 -51.156954
    Unten links KachelX 57551 KachelY + 1 87284 -0.38277614 -0.89288735 -21.931457 -51.158677
    Unten rechts KachelX + 1 57552 KachelY + 1 87284 -0.38272821 -0.89288735 -21.928711 -51.158677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89285729--0.89288735) × R
    3.00599999999429e-05 × 6371000     		dl = 191.512259999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89285729--0.89288735) × R
    3.00599999999429e-05 × 6371000     		dr = 191.512259999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38277614--0.38272821) × cos(-0.89285729) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.62718914096981 × 6371000     		do = 191.519749280393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38277614--0.38272821) × cos(-0.89288735) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.627165727944857 × 6371000     		du = 191.512599831565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89285729)-sin(-0.89288735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62718914096981-0.627165727944857)×R²
    abs(-0.38272821--0.38277614)×2.34130249524567e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34130249524567e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34130249524567e-05×40589641000000     		ar = 36677.6954185243m²