Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57551 / 44173
↖ ↑ ↗
← N 50.490716°
W 21.931457°		 ← 194.27 m → N 50.490716°
W 21.928711°		 →
↑
194.32 m
↓
↑
194.32 m
↓
N 50.488969°
W 21.931457°		 ← 194.28 m →
37 751 m²		 N 50.488969°
W 21.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439083099365234 y=0.337017059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439083099365234 × 217)
    floor (0.439083099365234 × 131072)
    floor (57551.5)     		tx = 57551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337017059326172 × 217)
    floor (0.337017059326172 × 131072)
    floor (44173.5)     		ty = 44173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57551 / 44173 ti = "17/57551/44173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57551/44173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57551 ÷ 217
    57551 ÷ 131072     		x = 0.439079284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44173 ÷ 217
    44173 ÷ 131072     		y = 0.337013244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439079284667969 × 2 - 1) × π
    -0.121841430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38277614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337013244628906 × 2 - 1) × π
    0.325973510742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.02407598658326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38277614} λ = -0.38277614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02407598658326))-π/2
    2×atan(2.78452133641233)-π/2
    2×1.22601278124376-π/2
    2.45202556248752-1.57079632675     		φ = 0.88122924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38277614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.931457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88122924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.490716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57551 KachelY 44173 -0.38277614 0.88122924 -21.931457 50.490716
    Oben rechts KachelX + 1 57552 KachelY 44173 -0.38272821 0.88122924 -21.928711 50.490716
    Unten links KachelX 57551 KachelY + 1 44174 -0.38277614 0.88119874 -21.931457 50.488969
    Unten rechts KachelX + 1 57552 KachelY + 1 44174 -0.38272821 0.88119874 -21.928711 50.488969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88122924-0.88119874) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dl = 194.315500000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88122924-0.88119874) × R
    3.05000000000444e-05 × 6371000     		dr = 194.315500000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38277614--0.38272821) × cos(0.88122924) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.636203240000182 × 6371000     		do = 194.272312858927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38277614--0.38272821) × cos(0.88119874) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.636226771110261 × 6371000     		du = 194.279498366469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88122924)-sin(0.88119874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636203240000182-0.636226771110261)×R²
    abs(-0.38272821--0.38277614)×2.35311100784674e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35311100784674e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35311100784674e-05×40589641000000     		ar = 37750.8197401713m²