Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57550 / 87438
↖ ↑ ↗
← S 51.423189°
W 21.934204°		 ← 190.45 m → S 51.423189°
W 21.931457°		 →
↑
190.49 m
↓
↑
190.49 m
↓
S 51.424902°
W 21.934204°		 ← 190.45 m →
36 279 m²		 S 51.424902°
W 21.931457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439075469970703 y=0.667102813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439075469970703 × 217)
    floor (0.439075469970703 × 131072)
    floor (57550.5)     		tx = 57550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667102813720703 × 217)
    floor (0.667102813720703 × 131072)
    floor (87438.5)     		ty = 87438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57550 / 87438 ti = "17/57550/87438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57550/87438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57550 ÷ 217
    57550 ÷ 131072     		x = 0.439071655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87438 ÷ 217
    87438 ÷ 131072     		y = 0.667098999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439071655273438 × 2 - 1) × π
    -0.121856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38282408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667098999023438 × 2 - 1) × π
    -0.334197998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04991397547847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38282408} λ = -0.38282408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04991397547847))-π/2
    2×atan(0.349967853633433)-π/2
    2×0.336646180911203-π/2
    0.673292361822405-1.57079632675     		φ = -0.89750396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38282408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.934204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89750396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.423189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57550 KachelY 87438 -0.38282408 -0.89750396 -21.934204 -51.423189
    Oben rechts KachelX + 1 57551 KachelY 87438 -0.38277614 -0.89750396 -21.931457 -51.423189
    Unten links KachelX 57550 KachelY + 1 87439 -0.38282408 -0.89753386 -21.934204 -51.424902
    Unten rechts KachelX + 1 57551 KachelY + 1 87439 -0.38277614 -0.89753386 -21.931457 -51.424902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89750396--0.89753386) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dl = 190.492900000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89750396--0.89753386) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dr = 190.492900000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38282408--0.38277614) × cos(-0.89750396) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623563245158855 × 6371000     		do = 190.45226558954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38282408--0.38277614) × cos(-0.89753386) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623539869870181 × 6371000     		du = 190.445126174699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89750396)-sin(-0.89753386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623563245158855-0.623539869870181)×R²
    abs(-0.38277614--0.38282408)×2.33752886740213e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33752886740213e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33752886740213e-05×40589641000000     		ar = 36279.1243826749m²