Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57550 / 87284
↖ ↑ ↗
← S 51.158677°
W 21.934204°		 ← 191.55 m → S 51.158677°
W 21.931457°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
S 51.160400°
W 21.934204°		 ← 191.55 m →
36 696 m²		 S 51.160400°
W 21.931457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439075469970703 y=0.665927886962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439075469970703 × 217)
    floor (0.439075469970703 × 131072)
    floor (57550.5)     		tx = 57550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665927886962891 × 217)
    floor (0.665927886962891 × 131072)
    floor (87284.5)     		ty = 87284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57550 / 87284 ti = "17/57550/87284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57550/87284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57550 ÷ 217
    57550 ÷ 131072     		x = 0.439071655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87284 ÷ 217
    87284 ÷ 131072     		y = 0.665924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439071655273438 × 2 - 1) × π
    -0.121856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38282408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.33184814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04253169293698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38282408} λ = -0.38282408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04253169293698))-π/2
    2×atan(0.352560975010056)-π/2
    2×0.338954487282772-π/2
    0.677908974565544-1.57079632675     		φ = -0.89288735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38282408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.934204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89288735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.158677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57550 KachelY 87284 -0.38282408 -0.89288735 -21.934204 -51.158677
    Oben rechts KachelX + 1 57551 KachelY 87284 -0.38277614 -0.89288735 -21.931457 -51.158677
    Unten links KachelX 57550 KachelY + 1 87285 -0.38282408 -0.89291742 -21.934204 -51.160400
    Unten rechts KachelX + 1 57551 KachelY + 1 87285 -0.38277614 -0.89291742 -21.931457 -51.160400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89288735--0.89291742) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89288735--0.89291742) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38282408--0.38277614) × cos(-0.89288735) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627165727944857 × 6371000     		do = 191.552556560293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38282408--0.38277614) × cos(-0.89291742) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627142306564149 × 6371000     		du = 191.545403067758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89288735)-sin(-0.89291742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627165727944857-0.627142306564149)×R²
    abs(-0.38277614--0.38282408)×2.34213807086547e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34213807086547e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34213807086547e-05×40589641000000     		ar = 36696.1816130925m²