Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57549 / 87447
↖ ↑ ↗
← S 51.438600°
W 21.936951°		 ← 190.39 m → S 51.438600°
W 21.934204°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
S 51.440313°
W 21.936951°		 ← 190.38 m →
36 255 m²		 S 51.440313°
W 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439067840576172 y=0.667171478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439067840576172 × 217)
    floor (0.439067840576172 × 131072)
    floor (57549.5)     		tx = 57549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667171478271484 × 217)
    floor (0.667171478271484 × 131072)
    floor (87447.5)     		ty = 87447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57549 / 87447 ti = "17/57549/87447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57549/87447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57549 ÷ 217
    57549 ÷ 131072     		x = 0.439064025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87447 ÷ 217
    87447 ÷ 131072     		y = 0.667167663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439064025878906 × 2 - 1) × π
    -0.121871948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38287202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667167663574219 × 2 - 1) × π
    -0.334335327148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.05034540757505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38287202} λ = -0.38287202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05034540757505))-π/2
    2×atan(0.349816898834318)-π/2
    2×0.336511690996342-π/2
    0.673023381992685-1.57079632675     		φ = -0.89777294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38287202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.936951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89777294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.438600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57549 KachelY 87447 -0.38287202 -0.89777294 -21.936951 -51.438600
    Oben rechts KachelX + 1 57550 KachelY 87447 -0.38282408 -0.89777294 -21.934204 -51.438600
    Unten links KachelX 57549 KachelY + 1 87448 -0.38287202 -0.89780283 -21.936951 -51.440313
    Unten rechts KachelX + 1 57550 KachelY + 1 87448 -0.38282408 -0.89780283 -21.934204 -51.440313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89777294--0.89780283) × R
    2.98900000000879e-05 × 6371000     		dl = 190.42919000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89777294--0.89780283) × R
    2.98900000000879e-05 × 6371000     		dr = 190.42919000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38287202--0.38282408) × cos(-0.89777294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62335294132719 × 6371000     		do = 190.388033385909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38287202--0.38282408) × cos(-0.89780283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623329568844039 × 6371000     		du = 190.380894827947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89777294)-sin(-0.89780283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62335294132719-0.623329568844039)×R²
    abs(-0.38282408--0.38287202)×2.33724831506521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33724831506521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33724831506521e-05×40589641000000     		ar = 36254.7592910618m²