Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57549 / 44139
↖ ↑ ↗
← N 50.550090°
W 21.936951°		 ← 194.07 m → N 50.550090°
W 21.934204°		 →
↑
194.06 m
↓
↑
194.06 m
↓
N 50.548344°
W 21.936951°		 ← 194.08 m →
37 662 m²		 N 50.548344°
W 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439067840576172 y=0.336757659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439067840576172 × 217)
    floor (0.439067840576172 × 131072)
    floor (57549.5)     		tx = 57549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336757659912109 × 217)
    floor (0.336757659912109 × 131072)
    floor (44139.5)     		ty = 44139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57549 / 44139 ti = "17/57549/44139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57549/44139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57549 ÷ 217
    57549 ÷ 131072     		x = 0.439064025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44139 ÷ 217
    44139 ÷ 131072     		y = 0.336753845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439064025878906 × 2 - 1) × π
    -0.121871948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38287202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336753845214844 × 2 - 1) × π
    0.326492309570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.02570584117034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38287202} λ = -0.38287202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02570584117034))-π/2
    2×atan(2.78906340173283)-π/2
    2×1.2265309147018-π/2
    2.45306182940361-1.57079632675     		φ = 0.88226550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38287202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.936951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88226550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.550090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57549 KachelY 44139 -0.38287202 0.88226550 -21.936951 50.550090
    Oben rechts KachelX + 1 57550 KachelY 44139 -0.38282408 0.88226550 -21.934204 50.550090
    Unten links KachelX 57549 KachelY + 1 44140 -0.38287202 0.88223504 -21.936951 50.548344
    Unten rechts KachelX + 1 57550 KachelY + 1 44140 -0.38282408 0.88223504 -21.934204 50.548344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88226550-0.88223504) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dl = 194.060660000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88226550-0.88223504) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dr = 194.060660000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38287202--0.38282408) × cos(0.88226550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635403401676764 × 6371000     		do = 194.068554155516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38287202--0.38282408) × cos(0.88223504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635426921995931 × 6371000     		du = 194.075737866402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88226550)-sin(0.88223504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635403401676764-0.635426921995931)×R²
    abs(-0.38282408--0.38287202)×2.35203191676359e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35203191676359e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35203191676359e-05×40589641000000     		ar = 37661.7687454216m²