Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57548 / 87268
↖ ↑ ↗
← S 51.131108°
W 21.939697°		 ← 191.63 m → S 51.131108°
W 21.936951°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
S 51.132831°
W 21.939697°		 ← 191.62 m →
36 723 m²		 S 51.132831°
W 21.936951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439060211181641 y=0.665805816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439060211181641 × 217)
    floor (0.439060211181641 × 131072)
    floor (57548.5)     		tx = 57548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665805816650391 × 217)
    floor (0.665805816650391 × 131072)
    floor (87268.5)     		ty = 87268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57548 / 87268 ti = "17/57548/87268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57548/87268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57548 ÷ 217
    57548 ÷ 131072     		x = 0.439056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87268 ÷ 217
    87268 ÷ 131072     		y = 0.665802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.12188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38291995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.33160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04176470254306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38291995} λ = -0.38291995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04176470254306))-π/2
    2×atan(0.352831489618952)-π/2
    2×0.339195074173095-π/2
    0.678390148346189-1.57079632675     		φ = -0.89240618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38291995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89240618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.131108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57548 KachelY 87268 -0.38291995 -0.89240618 -21.939697 -51.131108
    Oben rechts KachelX + 1 57549 KachelY 87268 -0.38287202 -0.89240618 -21.936951 -51.131108
    Unten links KachelX 57548 KachelY + 1 87269 -0.38291995 -0.89243626 -21.939697 -51.132831
    Unten rechts KachelX + 1 57549 KachelY + 1 87269 -0.38287202 -0.89243626 -21.936951 -51.132831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89240618--0.89243626) × R
    3.00799999999324e-05 × 6371000     		dl = 191.639679999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89240618--0.89243626) × R
    3.00799999999324e-05 × 6371000     		dr = 191.639679999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38291995--0.38287202) × cos(-0.89240618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.627540431827256 × 6371000     		do = 191.627020169965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38291995--0.38287202) × cos(-0.89243626) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.627517011737384 × 6371000     		du = 191.619868563779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89240618)-sin(-0.89243626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627540431827256-0.627517011737384)×R²
    abs(-0.38287202--0.38291995)×2.34200898714398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34200898714398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34200898714398e-05×40589641000000     		ar = 36722.6555615998m²