Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57546 / 85704
↖ ↑ ↗
← S 48.356249°
W 21.945191°		 ← 202.95 m → S 48.356249°
W 21.942444°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
S 48.358074°
W 21.945191°		 ← 202.95 m →
41 182 m²		 S 48.358074°
W 21.942444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439044952392578 y=0.653873443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439044952392578 × 217)
    floor (0.439044952392578 × 131072)
    floor (57546.5)     		tx = 57546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653873443603516 × 217)
    floor (0.653873443603516 × 131072)
    floor (85704.5)     		ty = 85704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57546 / 85704 ti = "17/57546/85704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57546/85704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57546 ÷ 217
    57546 ÷ 131072     		x = 0.439041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85704 ÷ 217
    85704 ÷ 131072     		y = 0.65386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38301583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.3077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.966791391537293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38301583} λ = -0.38301583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966791391537293))-π/2
    2×atan(0.380301320598086)-π/2
    2×0.36341028366673-π/2
    0.72682056733346-1.57079632675     		φ = -0.84397576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38301583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.945191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84397576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.356249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57546 KachelY 85704 -0.38301583 -0.84397576 -21.945191 -48.356249
    Oben rechts KachelX + 1 57547 KachelY 85704 -0.38296789 -0.84397576 -21.942444 -48.356249
    Unten links KachelX 57546 KachelY + 1 85705 -0.38301583 -0.84400761 -21.945191 -48.358074
    Unten rechts KachelX + 1 57547 KachelY + 1 85705 -0.38296789 -0.84400761 -21.942444 -48.358074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84397576--0.84400761) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84397576--0.84400761) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38301583--0.38296789) × cos(-0.84397576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664497036135423 × 6371000     		do = 202.95449898957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38301583--0.38296789) × cos(-0.84400761) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664473234583227 × 6371000     		du = 202.947229382878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84397576)-sin(-0.84400761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664497036135423-0.664473234583227)×R²
    abs(-0.38296789--0.38301583)×2.38015521959456e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38015521959456e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38015521959456e-05×40589641000000     		ar = 41182.0485935918m²