Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57546 / 85026
↖ ↑ ↗
← S 47.103784°
W 21.945191°		 ← 207.89 m → S 47.103784°
W 21.942444°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
S 47.105654°
W 21.945191°		 ← 207.89 m →
43 218 m²		 S 47.105654°
W 21.942444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439044952392578 y=0.648700714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439044952392578 × 217)
    floor (0.439044952392578 × 131072)
    floor (57546.5)     		tx = 57546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648700714111328 × 217)
    floor (0.648700714111328 × 131072)
    floor (85026.5)     		ty = 85026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57546 / 85026 ti = "17/57546/85026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57546/85026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57546 ÷ 217
    57546 ÷ 131072     		x = 0.439041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85026 ÷ 217
    85026 ÷ 131072     		y = 0.648696899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38301583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648696899414062 × 2 - 1) × π
    -0.297393798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.934290173594894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38301583} λ = -0.38301583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934290173594894))-π/2
    2×atan(0.392864632271436)-π/2
    2×0.374340104058235-π/2
    0.74868020811647-1.57079632675     		φ = -0.82211612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38301583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.945191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82211612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.103784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57546 KachelY 85026 -0.38301583 -0.82211612 -21.945191 -47.103784
    Oben rechts KachelX + 1 57547 KachelY 85026 -0.38296789 -0.82211612 -21.942444 -47.103784
    Unten links KachelX 57546 KachelY + 1 85027 -0.38301583 -0.82214875 -21.945191 -47.105654
    Unten rechts KachelX + 1 57547 KachelY + 1 85027 -0.38296789 -0.82214875 -21.942444 -47.105654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82211612--0.82214875) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dl = 207.88572999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82211612--0.82214875) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dr = 207.88572999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38301583--0.38296789) × cos(-0.82211612) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68067248864874 × 6371000     		do = 207.894898543287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38301583--0.38296789) × cos(-0.82214875) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.680648583944721 × 6371000     		du = 207.887597431373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82211612)-sin(-0.82214875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68067248864874-0.680648583944721)×R²
    abs(-0.38296789--0.38301583)×2.39047040193618e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39047040193618e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39047040193618e-05×40589641000000     		ar = 43217.6238523785m²