Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57546 / 84954
↖ ↑ ↗
← S 46.969008°
W 21.945191°		 ← 208.42 m → S 46.969008°
W 21.942444°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
S 46.970882°
W 21.945191°		 ← 208.41 m →
43 433 m²		 S 46.970882°
W 21.942444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439044952392578 y=0.648151397705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439044952392578 × 217)
    floor (0.439044952392578 × 131072)
    floor (57546.5)     		tx = 57546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648151397705078 × 217)
    floor (0.648151397705078 × 131072)
    floor (84954.5)     		ty = 84954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57546 / 84954 ti = "17/57546/84954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57546/84954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57546 ÷ 217
    57546 ÷ 131072     		x = 0.439041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84954 ÷ 217
    84954 ÷ 131072     		y = 0.648147583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38301583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648147583007812 × 2 - 1) × π
    -0.296295166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.93083871682225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38301583} λ = -0.38301583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93083871682225))-π/2
    2×atan(0.394222930272239)-π/2
    2×0.375516245119725-π/2
    0.751032490239449-1.57079632675     		φ = -0.81976384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38301583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.945191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81976384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.969008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57546 KachelY 84954 -0.38301583 -0.81976384 -21.945191 -46.969008
    Oben rechts KachelX + 1 57547 KachelY 84954 -0.38296789 -0.81976384 -21.942444 -46.969008
    Unten links KachelX 57546 KachelY + 1 84955 -0.38301583 -0.81979655 -21.945191 -46.970882
    Unten rechts KachelX + 1 57547 KachelY + 1 84955 -0.38296789 -0.81979655 -21.942444 -46.970882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81976384--0.81979655) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dl = 208.395409999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81976384--0.81979655) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dr = 208.395409999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38301583--0.38296789) × cos(-0.81976384) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682393855660891 × 6371000     		do = 208.420648336786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38301583--0.38296789) × cos(-0.81979655) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682369944786429 × 6371000     		du = 208.413345340259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81976384)-sin(-0.81979655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682393855660891-0.682369944786429)×R²
    abs(-0.38296789--0.38301583)×2.39108744628513e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39108744628513e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39108744628513e-05×40589641000000     		ar = 43433.1455107582m²