Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57546 / 44186
↖ ↑ ↗
← N 50.467994°
W 21.945191°		 ← 194.41 m → N 50.467994°
W 21.942444°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
N 50.466246°
W 21.945191°		 ← 194.41 m →
37 789 m²		 N 50.466246°
W 21.942444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439044952392578 y=0.337116241455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439044952392578 × 217)
    floor (0.439044952392578 × 131072)
    floor (57546.5)     		tx = 57546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337116241455078 × 217)
    floor (0.337116241455078 × 131072)
    floor (44186.5)     		ty = 44186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57546 / 44186 ti = "17/57546/44186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57546/44186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57546 ÷ 217
    57546 ÷ 131072     		x = 0.439041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44186 ÷ 217
    44186 ÷ 131072     		y = 0.337112426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38301583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337112426757812 × 2 - 1) × π
    0.325775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0234528068882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38301583} λ = -0.38301583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0234528068882))-π/2
    2×atan(2.78278661983123)-π/2
    2×1.22581449911451-π/2
    2.45162899822902-1.57079632675     		φ = 0.88083267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38301583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.945191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88083267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.467994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57546 KachelY 44186 -0.38301583 0.88083267 -21.945191 50.467994
    Oben rechts KachelX + 1 57547 KachelY 44186 -0.38296789 0.88083267 -21.942444 50.467994
    Unten links KachelX 57546 KachelY + 1 44187 -0.38301583 0.88080216 -21.945191 50.466246
    Unten rechts KachelX + 1 57547 KachelY + 1 44187 -0.38296789 0.88080216 -21.942444 50.466246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88083267-0.88080216) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88083267-0.88080216) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38301583--0.38296789) × cos(0.88083267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636509152249488 × 6371000     		do = 194.40627884267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38301583--0.38296789) × cos(0.88080216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636532683374948 × 6371000     		du = 194.413465854077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88083267)-sin(0.88080216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636509152249488-0.636532683374948)×R²
    abs(-0.38296789--0.38301583)×2.35311254601633e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35311254601633e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35311254601633e-05×40589641000000     		ar = 37789.237406303m²