Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57545 / 87423
↖ ↑ ↗
← S 51.397492°
W 21.947937°		 ← 190.52 m → S 51.397492°
W 21.945191°		 →
↑
190.56 m
↓
↑
190.56 m
↓
S 51.399206°
W 21.947937°		 ← 190.51 m →
36 304 m²		 S 51.399206°
W 21.945191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439037322998047 y=0.666988372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439037322998047 × 217)
    floor (0.439037322998047 × 131072)
    floor (57545.5)     		tx = 57545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666988372802734 × 217)
    floor (0.666988372802734 × 131072)
    floor (87423.5)     		ty = 87423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57545 / 87423 ti = "17/57545/87423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57545/87423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57545 ÷ 217
    57545 ÷ 131072     		x = 0.439033508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87423 ÷ 217
    87423 ÷ 131072     		y = 0.666984558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439033508300781 × 2 - 1) × π
    -0.121932983398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38306376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666984558105469 × 2 - 1) × π
    -0.333969116210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.04919492198417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38306376} λ = -0.38306376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04919492198417))-π/2
    2×atan(0.350219589736497)-π/2
    2×0.33687043159131-π/2
    0.673740863182621-1.57079632675     		φ = -0.89705546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38306376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.947937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89705546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.397492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57545 KachelY 87423 -0.38306376 -0.89705546 -21.947937 -51.397492
    Oben rechts KachelX + 1 57546 KachelY 87423 -0.38301583 -0.89705546 -21.945191 -51.397492
    Unten links KachelX 57545 KachelY + 1 87424 -0.38306376 -0.89708537 -21.947937 -51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 57546 KachelY + 1 87424 -0.38301583 -0.89708537 -21.945191 -51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89705546--0.89708537) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dl = 190.556609999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89705546--0.89708537) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dr = 190.556609999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38306376--0.38301583) × cos(-0.89705546) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.623913807580651 × 6371000     		do = 190.519586827753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38306376--0.38301583) × cos(-0.89708537) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 190.512449069842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89705546)-sin(-0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623913807580651-0.62389043284113)×R²
    abs(-0.38301583--0.38306376)×2.337473952152e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.337473952152e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.337473952152e-05×40589641000000     		ar = 36304.0865336683m²